szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2015, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Polska
Na ile różnych sposobów można przedstawić liczbę n jako sumę liczb 1,2,...,n, tzn. 1+2 to jest to samo co 2+1?
Czyli dla n=4 mamy 5 takich rozłożeń:
1+1+1+1, \quad 1+1+2, \quad  2+2, \quad 1+3, \quad 5
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 maja 2015, o 22:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Wzoru nie ma, ale jak zwykle: funkcję tworzącą znaleźć można.

\prod_{k>0} \frac{1}{1-x^k} = \sum_{k = 0}^\infty  x^k \prod_{i = 1}^k \frac{1}{1-x^i} = 1+\sum_{k>0}\frac{ x^{k^2}}{\prod_{i = 1}^k (1-x^i)^2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2015, o 23:10 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Polska
Czyli, jeśli chcę policzyć np. ile jest takich przedstawień dla n=10 to nie da się tego policzyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2015, o 18:14 
Użytkownik

Posty: 164
Można, ale żeby to zrobić matematycznie to trzeba się sporo namęczyć i mieć wiedzę o rekurencji, funkcjach tworzących i wielu innych rzeczach. Tutaj znajduje się rozwiązanie podobnego problemu htmhttp://www.matematyka.pl/321646.htm">321646.htmhttp://www.matematyka.pl/321646.htm

Jeżeli natomiast chcesz rozwiązać te zadanie dla jakichś małych liczb, np. n = 10 to możesz skorzystać z poniższego wzoru rekurencyjnego:
f(n) = \begin{cases} 1,  n =0 \\  \sum_{i = 1}^{n}f(n-i),  n  \ge 1  \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 maja 2015, o 17:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Valiors, czy aby na pewno twoja rekurencja jest poprawna ?

F\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{f_{n}x^{n}}\\
 \sum_{n=1}^{ \infty }{f_{n}x^{n}}=\sum_{n=1}^{ \infty }{\left(  \sum_{i=1}^{ n }f_{n-i} \right) x^{n}}\\
 \sum_{n=1}^{ \infty }{f_{n}x^{n}}=\sum_{n=1}^{ \infty }{\left(  \sum_{i=0}^{ n-1 }f_{i} \right) x^{n}}\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{f_{n}x^{n}}=\sum_{n=0}^{ \infty }{\left(  \sum_{i=0}^{ n }f_{i} \right) x^{n+1}}\\
F\left( x\right)-1= \frac{x}{1-x}F\left( x\right)\\
 \left( 1-\frac{x}{1-x}\right) F\left( x\right)=1\\
\frac{1-2x}{1-x}F\left( x\right)=1\\
F\left( x\right)=\frac{1-x}{1-2x}=\frac{1}{2} \cdot  \frac{1-2x+1}{1-2x}\\
F\left( x\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-2x}\\
f_{n}=\frac{1}{2}\left( 1-\mathrm{signum}\left( n\right) \right)+ \frac{1}{2} \cdot 2^{n}  \\
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 maja 2015, o 17:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
To już lepszym pomysłem jest liczenie tego z

f(n) = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{ f(k) \cdot \sigma(n-k) }{n}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile jest dzielnikow liczby  Anonymous  6
 ustawianie osob w rzedzie, liczby n-cyfrowe itp  Anonymous  16
 Ile sposobow - wybor trzech liczb, aby suma byla parzysta  Anonymous  2
 Na ile sposobów... (suma 3 liczb rowna 11)  Anonymous  3
 liczby podzielne  BSD  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl