szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2015, o 17:16 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Gdynia
Mam problem ze zrozumieniem zasady indukcji matematycznej. Sama idea wydaję się być nietrudna, ale mam pytanie:
Czy w równaniach zakładając prawdziwość równania dla n, obie metody , tzn Dodając/odejmując/mnożąc/dzieląc kiedy doprowadzam równanie do tego samego jak bym po porstu wstawił n+1 za n oraz wstawiać za n , n+1 i doprowadzać do równania wyjściowego czyli dla n, czy te obie metody są poprawne?

Jakby miał ktoś ciekawe wytłumaczenie indukcji i chciałby się nią podzielić :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 maja 2015, o 17:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Nie rozumiem, możesz pokazać to na przykładzie?

Fakt. Suma liczb naturalnych od 1 do n wynosi \frac{n^2 + n}{2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2015, o 17:54 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Gdynia
1+2+3+....+n =  \frac{ n^{2}+n  }{2}
Dla n= 1
1=1 co jest prawdą

Zakładam prawdziwość dla pewnego n
I teraz te dwa sposoby

1) Dla n+1
1 + 2+ 3+ ...+ n + n+1 =  \frac{ (n+1)^{2}+n +1 }{2 }
okej i teraz przerzucając n+1 na drugą stronę równania dojdę do mojego założenia.
1 + 2+ 3+ ...+ n +  =  \frac{ (n+1)^{2}+n +1 }{2 } - (n+1)
Po przekszatałceniach znów powracam do:
1+2+3+....+n =  \frac{ n^{2}+n  }{2}

2) Mogę zacząć przekształcać moje założenie dla n, w tym przypadku dodając obustronnie n+1
I doprowadzę do tego:
1 + 2+ 3+ ...+ n + n+1 =  \frac{ (n+1)^{2}+n +1 }{2 }
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 maja 2015, o 17:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Pierwszy przypomina zakładanie tego, co masz udowodnić. Akurat tutaj się udaje, bo przejścia są równoważne. Tylko drugi sposób jest porządny w ogólności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2015, o 18:01 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Gdynia
Jeżeli drugi jest porządny w ogólności, to jak sprawdzić kiedy dowód się kończy. W przypadku który został przytoczony wystarczy wyznaczyć sume dla [n+1] pierwszych wyrazów postępu arytmetycznego o różnicy 1 i faktycznie będzie się zgadzać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2015, o 18:54 
Administrator

Posty: 22609
Lokalizacja: Wrocław
Lepiej jest drugi sposób zapisać "od lewej do prawej": zaczynasz od 1 + 2+ 3+ ...+ n + n+1 i przekształcasz, wykorzystując założenie 1 + 2+ 3+ ...+ n = \frac{ n^{2}+n }{2 }, dojść do \frac{ (n+1)^{2}+n +1 }{2 }.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2015, o 02:38 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Gdynia
Ale mam rozumieć, że oba sposoby logicznie są poprawne tak? Jakoś z tym 1 sposobem lepiej mi idzie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2015, o 09:33 
Administrator

Posty: 22609
Lokalizacja: Wrocław
Pierwszy sposób jest poprawny, dopóki wykonujesz przejścia równoważne (co należałoby, nawiasem mówiąc, wyraźnie w dowodzie zaznaczyć - te same rachunki podane ze złym komentarzem poprawnym dowodem już nie będą). Pomijając fakt, że taki dowód jest niezbyt elegancki, jest zawsze niebezpieczeństwo, że z rozpędu wykonasz przejście, które równoważne nie jest.

Inna sprawa, że indukcja ma dużo więcej zastosowań niż "wzory z kropkami", więc ograniczanie jej rozumienia do tego typu przekształceń może Cię nieco zubożyć.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2015, o 12:17 
Użytkownik

Posty: 647
Lokalizacja: Polska
1+2+3+ \ldots +n\\
= 1+2+3+ \ldots +n+(n+1)\\
= (1+2+3+ \ldots +n)+(n+1)\\
\\
= \frac{n(n+1)}{2} +(n+1)\\
\\
= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n+1)}{2}\\
\\
= \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2}\\
\\
= \frac{(n+1)(n+2)}{2}\\
\\
= \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2015, o 14:09 
Administrator

Posty: 22609
Lokalizacja: Wrocław
Elayne napisał(a):
1+2+3+ \ldots +n\\
= 1+2+3+ \ldots +n+(n+1)

Początek jest umiarkowanie prawdziwy...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2015, o 17:09 
Użytkownik

Posty: 647
Lokalizacja: Polska
To tylko szkic drugiej części dowodu - bez wstępu, bez zakończenia, bez komentarzy do poszczególnych przekształceń.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2015, o 17:58 
Administrator

Posty: 22609
Lokalizacja: Wrocław
Ale osoba, która nie rozumie tego dobrze, może to zrozumieć opacznie.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Problem ze zrozumieniem - zadanie 4  Matiks21  4
 problem ze zrozumieniem - zadanie 2  jihad90  4
 problem ze zrozumieniem  kuba1988  3
 Indukcja - problem  adak49  3
 problem z dokończeniem nierówności  lisekpk  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl