szukanie zaawansowane
 [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 00:27 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Udowodnij, ze dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
x^{4}-x^{2}-2x+3>0

Potrafię to zrobić, odpowiednio grupując: a rozpiszmy sobie lewą stronę na x^{4}-2x^{2}+1+x^{2}-2x+1+1 i dalej chyba widać, co z tym zrobić (wzory skróconego mnożenia). Ale to rozwiązanie jest debilne, pałkarskie i nie ma w tym żadnej idei, tylko jakieś rozpisanie na chama, które co gorsza nie zawsze może się udać.
Czy jest jakakolwiek ładna metoda niepolegająca na zgadywaniu (bo to przecież już nawet nie sudoku, tylko wręcz gra w kości z kostkami o niesymetrycznych ściankach, żadnej matematyki nie ma w takim rozpisywaniu)? No i preferowałbym też nieużywanie rachunku różniczkowego, bo oczywiście to jest w programie i nawet chyba z tego by wyszło (jedyne minimum lokalne w jedynce+jakaś króciuchna analiza granic w +/-\infty), ale to też pała i wieczny schemat.
Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 00:46 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
Prawdopodobnie nie jest to sposób uniwersalny, ale dorzucę inne rozwiązanie.
x^{4} - x^{2} - 2x + 3 = x^{4} + 1 - x^{2} -2x + 2  \ge 2x^{2} - x^{2} -2x + 2 = x^{2} - 2x + 2 = \left( x-1\right)^{2} + 1
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 22 maja 2015, o 05:15 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cytuj:
Ale to rozwiązanie jest debilne, pałkarskie i nie ma w tym żadnej idei, tylko jakieś rozpisanie na chama, które co gorsza nie zawsze może się udać.



A poza tym popatrz na to rozwiązanie (myślę o Twoim pogrupowaniu). Da sie z niego wyciągnąć wiele wniosków. Czy zauważyłes na przykład, że rozwiązałeś w ten sposób nieskończenie wiele nierówności?

Tak: Dla wszystkich rzeczywistych x nierówność x^4-x^2-2x+a> 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy a> 2.
To chyba niezłe osiągnięcie jak na debilną i pałkarską metodę, nie uważasz?

A poza tym niezły kawałek matematyki został zrobiony takimi "rozpisaniami na chama", a dopiero potem, z rozwojem technik dopracowano się eleganckich dowodów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 06:22 
Użytkownik

Posty: 557
Lokalizacja: Polska
x^4-x^2-2x+3=x(x^3-x-2)+3=x(x(x^2-1)-2)+3>0
stąd mamy: \{y \in \RR : y \ge 1 \}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 10:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1385
Lokalizacja: Katowice
Premislav, zupełnie się z Tobą nie zgadzam. Rozwiązanie polegające na zwinięciu wyrażenia w kwadraty jest bardzo krótkie, sprytne, eleganckie i zrozumiałe dla przeciętnego człowieka, który nie zna rachunku różniczkowego. Nie można określić go mianem "pałkarskiego", bo, jak sam zauważyłeś, metoda ta może nie zadziałać w innych nierównościach tego typu.

Pałkarska metoda to rachunek różniczkowy - to zawsze doprowadzi do rozwiązania, na ogół znacznie dłuższego niż rozwiązania uzyskane innymi metodami. Zero sprytu, zero elegancji, zero myślenia - to jest pałowanie!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 10:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5695
Elayne napisał(a):
x(x(x^2-1)-2)+3>0
stąd mamy: \{y \in \RR : y \ge 1 \}

Pewnie wyjdę na ignoranta, ale nie rozumiem jak z postaci Hornera wynika zbiór wartości tego wielomianu.



x^4+4>(x+1)^2
A rozwiązanie graficzne pokazujące że krzywa potęgowa y= x^4+4 leży ponad parabolą y=(x+1)^2 satysfakcjonowałoby egzaminatorów?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 22 maja 2015, o 11:39 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cytuj:
A rozwiązanie graficzne pokazujące że krzywa potęgowa y= x^4+4 leży ponad parabolą y=(x+1)^2 satysfakcjonowałoby egzaminatorów?

Nie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 11:51 
Użytkownik

Posty: 2043
Lokalizacja: Warszawa
Cytuj:
Udowodnij, ze dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
x^{4}-x^{2}-2x+3>0


Wystarczy policzyć ekstrema - widać, że jest jedno - minimum i sprawdzić, że jest ono większe od zera.

y'=4x^3-2x-2

y'=0  \Leftrightarrow x=1

y'=2 \left( x-1\right) \left( 2x^2+2x+1\right)

Widać, że

y'<0 \ \text{dla} \  x<1

y'>0 \ \text{dla} \  x>1

a więc dla x<1 funkcja jest malejąca, a dla x>1 - rosnąca.

Zatem najmniejszą wartością funkcji jest jej minimum. y_{min}= 1 :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 16:50 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Dilectus, wspomniałem, że wolałbym rozwiązanie bez rachunku różniczkowego, to i ja potrafię, ale to jest niesatysfakcjonujące. Z całym szacunkiem, odnoszę wrażenie, ze czasem nie czyta Pan całych postów, skąd biorą się niekiedy pochopne odpowiedzi.
Zahion, o, to trochę ładniejsze (oczywiście to subiektywne).
a4karo, tak, zauważyłem, tak samo jak pewnie każdy przeciętny licealista rozwiązujący to zadanie. Jakoś nie wydaje mi się to ekscytującą obserwacją. Poza tym chyba nie ma nic złego w tym, że pytam o inną metodę niż rozpisywanie (może przesadziłem z określeniem "debilne"), to naprawdę świetnie, że w matematyce bywało tak a tak, ale to nie powód, żeby się zachwycać rozpisywaniem/rozwiązaniami na chama, równie dobrze można by się zachwycać sztuką dźwiękową z czasów rewolucji neolitycznej, no bo przecież nie od razu wymyślono coś lepszego niż dmuchanie w konchę czy uderzanie jednym kawałkiem drewna o drugi.
timon92, cóż, można się zgodzić, że rozwiązanie jest krótkie, proste i nie wymaga dużej wiedzy, więc dobre na maturę (oszczędność czasu i miejsca, minimalizacja ryzyka straty punktów na obliczeniach), natomiast nie zgadzam się, że ograniczona stosowalność metody powoduje, że nie można jej nazwać pałkarską - np. na maturze bodajże z 2010 roku niektórzy rozpisywali na piechotę w zadaniu z prawdopodobieństwa, bo było "tylko" 216 zdarzeń elementarnych. Gdyby było ich np. 216^{2} (po prostu odpowiednio dużo), to już takie podejście by nie przeszło, ale to nie znaczy, że rozpisanie przypadków nie jest pałkarskie (może słabe porównanie, bo to jednak o wiele gorszy pałczing, ale chodzi tu o powiązanie między uniwersalnością metody a stosownością określenia "pałowanie").
Co do użycia w takim zadaniu rachunku różniczkowego - pełna zgoda.
Elayne, dołączam się do pytania użytkownika kerajs, też nie widzę, jak z tego wynika teza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 18:26 
Użytkownik

Posty: 557
Lokalizacja: Polska
Wniosek końcowy na podstawie postaci funkcji i rachunku zbiorów - nie wiem czy jestem wstanie to w zwięzły sposób wytłumaczyć (przypomniał mi się post: plus/minus).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 19:07 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
To prosiłbym o wytłumaczenie w niezwięzły sposób, o ile można. W szczególności nie mam pojęcia, co tu ma do rzeczy rachunek zbiorów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 19:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
Zgadzam się z a4karo. Zwinięcie we wzory skróconego mnożenia jest sprytne, a nie głupie. Musiałeś zauważyć, że się da i dobrać to i owo. Tak jak właściwie w każdym dowodzie: musisz zauważyć jak przeforsować tezę i dobrać to i owo (argumenty). Nie nazwiesz chyba każdego dowodu pałkarskim (nie kojarzę, żeby gracze quidditcha byli szczególnie dobrzy w dowodach) :P

Btw, jakich innych narzędzi oczekiwałbyś przy takim zadaniu (wiem, że nie wiesz jakich - bo jakbyś wiedział, to byś nie pytał - ale jakie masz skojarzenia?)? To jest wielomian, zadanie z matury. Ciężko mi sobie wyobrazić istnienie ładniejszej metody niż wzór skróconego mnożenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 20:03 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Oczekiwałbym wykokszonego podstawienia za x jakiegoś przeskalowanego tangensa czegoś tam i sprytnego wykorzystania jakichś tożsamości trygonometrycznych, co sprowadzałoby tę nierówność do czegoś oczywistego. Albo jakiegoś króciutkiego rozbicia na przedziały i szacowań w ich obrębie niewykraczających poza coś a la x^{2}+1>0. Albo jakiegoś fajnego zwinięcia, bo to zwinięcie, które znalazłem, mi się nie podoba, zero estetyki, podobna brzydota jak w standardowym dowodzie nierówności między średnimi dla trzech liczb. Ale już rozwiązanie Zahiona jest moim zdaniem całkiem fajne.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 22 maja 2015, o 20:33 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
Bez sensu ta dyskusja. Nie podoba Ci sie, to nie używaj. Masz swoje kryteria estetyki, i to jest w porządku. Natomiast pisząc o innych metodach debilne, pałkarskie czy chamskie pośrednio obrażasz lub poniżasz ludzi, którzy takie proste metody preferują.

Nawiasem mówiąc, czy do wbijania gwoździ używasz młotka, czy ta metoda jest zbyt debilna?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2015, o 20:43 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Nie zniżam się do wbijania gwoździ, więc można powiedzieć, że wszystkie gwoździe, które wbiłem, wbiłem za pomocą innego przyrządu niż młotek. :) Pisałem, że przesadziłem z określeniem "debilne", jeśli ktoś się poczuł urażony, to przepraszam, natomiast mam prawo uważać jakieś rozwiązanie za prostackie.

Dziękuję za odpowiedzi, temat można zamknąć.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl