szukanie zaawansowane
 [ Posty: 24 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2015, o 23:39 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Kraków
Cześć, mam problem z zadaniem, które przyniosła do domu moja kuzynka (jest w piątej klasie).
Dany dowolny trójkąt i środkowe o długościach 4 , 5 , 6. Oblicz obwód.
Jest to do policzenia jak na piątą klasę czy coś źle przepisała?
Ja nie mam pomysłu na prostą metodę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 02:51 
Użytkownik

Posty: 3666
Lokalizacja: Kraków PL
Jeżeli oznaczymy boki trójkąta przez a, b i c, środkowe: do boku a jako d, do boku b jako e i do boku c jako f oraz kąty ostre: między d i f jako \alpha, między e i f jako \beta i między d i e jako \gamma, to mamy (z twie:

    \left(\frac{2}{3}f\right)^2+\left(\frac{1}{3}d\right)^2-\frac{2}{3}f\cdot\frac{1}{3}d\cdot\cos\alpha=\left(\frac{1}{2}a\right)^2

Takich równań będzie sześć i w po dwóch z nich będzie występować \cos\alpha, \cos\beta i \cos\gamma, więc będzie można te \cos\mbox{inusy} wyeliminować.
d, e i f są dane, więc będzie można z powstałych trzech równań wyznaczyć a, b i c, a tym samym obwód trójkąta.

Stanowczo nie jest to zadanie na piątą klasę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 12:55 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Warszawa
Czy długości trzech środkowych jednoznacznie określają trójkąt?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 13:49 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
Dilectus napisał(a):
Czy długości trzech środkowych jednoznacznie określają trójkąt?
Jest to pytanie, czy wskazówka?
Bo nawet wektory wyznaczone przez środkowe jednoznacznie wyznaczają trójkąt.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 13:51 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12706
Lokalizacja: Kraków
Polecam zajrzeć do tematu: 387118.htm

Wynika z niego stosunek pól, który łatwo zamienić na stosunek obwodów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 14:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Nie wiem, czy się mylę, ale stosunek obwodów wynika ze stosunku pól tylko w figurach podobnych, prawda?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 18:46 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12706
Lokalizacja: Kraków
Tylko w podobnych.

Teraz nie wiem, czy ja się mylę. Trójkąt zbudowany ze środkowych jest podobny do wyjściowego? Jeżeli nie, to przepraszam, gdyż w takim przypadku moja poprzednia wskazówka nie ma sensu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 3666
Lokalizacja: Kraków PL
Trójkąt ze środkowych nie jest podobny do wyjściowego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 19:59 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
SlotaWoj, ale dlaczego, bo też mnie to od jakiegoś czasu zastanawia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 20:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Zbudujcie sobie trójkąt tak jak w wymienionym wcześniej temacie zaproponowałem i pooznaczajcie kąty. Łatwo wtedy stwierdzić, że nie jest podobny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 20:44 
Użytkownik

Posty: 22449
Lokalizacja: piaski
Albo policzyć środkowe np trójkąta 6;8;10 i zobaczyć, że nie tworzą prostokątnego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 3666
Lokalizacja: Kraków PL
Nie wiem dlaczego i nawet jestem trochę zdziwiony, że tak jest. Po prostu narysowałem trójkąt, poprowadziłem jego środkowe i zbudowałem z nich trójkąt. Następnie wykonując translacje, symetrie i obroty usiłowałem wpasować ten trójkąt w wyjściowy tak, aby boki były równoległe i nie dało się. Zauważyłem, że im trójkąt wyjściowy bardziej różni się od równobocznego, tym ten brak równoległości któregoś z boków jest bardziej widoczny. Ciekawe jest też to, że można zbudować trójkąt ze środkowych wykonując jedynie translacje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 552
Lokalizacja: Polska
Każda ze środkowych dzieli trójkąt na dwie części o równych polach. Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą każdą z nich w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka. Oznaczmy środkowe przez Vn.

Va=6 długość odcinków: 4 oraz 2
Vb=5 długość odcinków: \frac{10}{3} oraz \frac{5}{3}
Vc=4 długość odcinków:\frac{8}{3} oraz \frac{4}{3}

Skorzystamy ze wzoru Herona, niech p=\frac{Va+Vb+Vc}{2}
Pole trójkąta:
S=\frac{4}{3} \sqrt{p(p - Va)(p - Vb)(p - Vc)}=5\sqrt{7}
Środkowe trójkąta dzielą trójkąt na sześć mniejszych trójkątów o tym samym polu, więc pole takiego trójkąta wynosi: \frac{5\sqrt{7}}{6}.
I teraz raczej mamy masę liczenia.

Inne rozwiązanie:
Z twierdzenia Apoloniusza mamy:

a= \frac{2}{3} \sqrt{-Va^2+2Vb^2+2Vc^2} = \frac{2\sqrt{46}}{3} =4,52155\\
\\
b= \frac{2}{3} \sqrt{-Vb^2+2Va^2+2Vc^2} = \frac{2\sqrt{79}}{3} =5,92546\\
\\
c= \frac{2}{3} \sqrt{-Vc^2+2Va^2+2Vb^2} = \frac{2\sqrt{106}}{3} =6,86375

Obwód trójkąta: a+b+c=17,31076
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: lubelskie
SlotaWoj, odnośnie translacji, to wiąże się to z tym, co napisałem wcześniej, że trójkąt wychodzi z wektorów. Jażeli potraktujemy je jako wektory swobodne, to równoległość musi być zachowana.
Natomiast, wierzę na słowo Piaskowi101 (bo nie chce mi się liczyć), a jeżeli tak jest, to mamy dobry kontrprzykład.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2015, o 21:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Nie rozumiem waszego zdziwienia. Jasna sprawa, że trójkąt utworzony ze środkowych nie jest podobny do wyjściowego. Elayne twoje rozwiązania nic nie wnoszą bo nadal nie są na poziomie podstawówki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 24 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt 60 30 90  szymek04  4
 trójkąt równoramienny - zadanie 73  ks_91  4
 czworokąt i trójkąt  kefirek90  1
 trójkąt wpisany w okrąg - dowód - zadanie 2  machina13  7
 Przekątna kwadratu, trojkąt równoboczny.  areyouhappy  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl