szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 maja 2015, o 12:46 
Użytkownik

Posty: 134
Jak to zrobić bez używania wzoru Newtona?

Wykazać, że dla dowolnej całkowitej dodatniej liczby n, jeśli 0  \le x \le 2n to:
(x+1)^n \ge x^n+(x-1)^n.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 maja 2015, o 14:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9855
Lokalizacja: Wrocław
Niestety nie znam ładnego dowodu, ale łatwo idzie z zastosowaniem indukcji po n i rachunku różniczkowego. Dla n=1 prawda, a dalej niech f_{n}(x)=(x+1)^{n}-x^{n}-(x-1)^{n}. Wtedy mamy \frac{d}{dx} f_{n+1}(x)=(n+1)f_{n}(x), prawa strona jest nieujemna z założenia indukcyjnego i wystarczy sprawdzić f_{n+1}(0). Przynajmniej tak to widzę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 maja 2015, o 14:58 
Użytkownik

Posty: 1856
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Z indukcji prawa strona nieujemna dla 0\leq x\leq 2n, a co z przedziałem (2n,2n+2]?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 maja 2015, o 15:09 
Moderator

Posty: 1869
Lokalizacja: Trzebiatów
To może inaczej.
Zauważmy, że
\left( x+1\right)^{n} - \left( x-1\right)^{n} =  2\sum_{k=0}^{\left[  \frac{n}{2} \right] } {n \choose 2k + 1}x^{n-2k-1} \ge 2\sum_{k=0}^{\left[  \frac{n}{2} \right]=0 } {n \choose 2k + 1}x^{n-2k-1}=2 {n \choose 1}x^{n-1} \ge x^{n}

dla 2n \ge x \ge 0
PS. Nie zauważyłem braku używania Newtona.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 maja 2015, o 15:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9855
Lokalizacja: Wrocław
robertm19, dziękuję za zwrócenie uwagi. Faktycznie, blef, przepraszam.
Nie mam teraz czasu zastanawiać się, czy można to jakoś naprawić (pewnie nie).
Ale można by stwierdzić, że dla x=0 teza jest oczywista, a dla x\neq 0 podzielić stronami przez x^{n}, a następnie wykazać, że \left(1+ \frac{1}{x}\right)^{n} dla ustalonego x dodatniego rośnie wraz ze wzrostem n, zaś \left(1- \frac{1}{x}\right)^{n} maleje wraz ze wzrostem n, o ile tylko x>1. A zatem dla dowolnie ustalonego x\in (1, 2n] mamy, że b_{n}=\left(1+ \frac{1}{x}\right)^{n}-\left(1- \frac{1}{x}\right)^{n} rośnie ze wzrostem n, a więc wystarczy sprawdzić, że b_{1}= \frac{2}{x} \ge  \frac{2}{2}=1. Zaś dla x \in (0,1] nawet nierówność Bernoulliego daje od razu tezę przy n \ge 2, a przypadek n=1 jest trywialny.

-- 31 maja 2015, o 14:21 --

Dobra, po co nierówność Bernoulliego, na (0,1] spokojnie działa rozumowanie z poprzedniego posta.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód nierówności  Sebastian R.  2
 Dowód nierówności - zadanie 8  mcmcjj  3
 dowód nierówności - zadanie 10  marek12  7
 Dowód nierówności - zadanie 13  maniek-07  5
 Dowód nierówności - zadanie 17  aska3007  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl