szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2015, o 13:49 
Użytkownik

Posty: 5411
Lokalizacja: Kraków
Wskazać możliwie różne dowody nierówności:
(1+xy)(x+y) \leq (1+x^2)(1+y^2)
o ile x, y \geq 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2015, o 14:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1343
Lokalizacja: Katowice
z nierówności Schwarza 1+xy \le \sqrt{1+x^2} \cdot \sqrt{1+y^2} oraz x+y \le \sqrt{x^2+1} \cdot \sqrt{1+y^2}, mnożymy stronami i gotowe :!:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2015, o 15:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5387
(1+xy)(x+y) \leq (1+x^2)(1+y^2)
Powyższą nierówność, traktując y jak parametr, można przedstawić tak:
x^2\left( y^2-y+1\right)+x\left( -y-1\right)+\left( y^2-y+1\right)  \ge 0

\Delta=\left( -y-1\right)^2 -4\left( y^2-y+1\right)^2=\left(-y+2y-1 \right) \left(3y^2-2y+3 \right) =-\left(y-1 \right)^2 \left(3y^2-2y+3 \right)
Ujemny wyróżnik dla y \neq 1określa lewą stronę nierówności jako dodatnią co spełnia nierówność. Dla y=1 lewa strona jest dodatnia dla x \neq 1, a zerowa dla x=1.
Konkluzja: nierówność jest prawdziwa, równość zachodzi tylko dla x=y=1.

Ps. To OM-owcy nazywają pałkarską metodą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2015, o 15:35 
Moderator

Posty: 1869
Lokalizacja: Trzebiatów
Nierówność ta jest równoważna nierówności \left( y-1\right)^{2}\left( x^{2}+1\right)  + \left( x-1\right)^{2}\left( y^{2}+1\right)  \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 cze 2015, o 17:30 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Istnieją \alpha, \beta \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right) takie, że x= \tg \alpha, y=\tg\beta. Nierówność przyjmuje zatem postać kolejno:
\left( 1+\tg\alpha\tg\beta \right)   \left( \tg\alpha + \tg\beta \right)  \le  \left( 1+\tg^2\alpha \right)  \left( 1+\tg^2\beta \right) \\
\frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha\sin\beta}{\cos \alpha \cos \beta}\cdot \frac{\cos \alpha \sin \beta + \sin\alpha\cos\beta}{\cos \alpha \cos \beta}\le \frac{1}{\cos^2\alpha \cos^2\beta}\\
\left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha\sin\beta\right) \left(\cos \alpha \sin \beta + \sin\alpha\cos\beta \right) \le 1\\
\cos  \left( \alpha - \beta \right) \sin  \left( \alpha +\beta \right) \le 1
a ta jest w oczywisty sposób prawdziwa.

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl