szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 cze 2015, o 23:17 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
W trójkącie ABC prowadzimy prostą k, która przecina boki AC i BC w takich punktach D, E, dla któych
\frac{|CD|}{|AD|}= \frac{|CE}{|EB|}. Wykaż ,że \frac{|DE|}{|AB|}= \frac{|CE|}{|BC|}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 cze 2015, o 00:41 
Użytkownik

Posty: 134
Zastanawiam się, czy takie rozwiązanie by Ciebie satysfakcjonowało (ze względu na dział w którym jest to pytanie). Ale ok pokażę.

Oznaczmy odcinki CD, AD, CE, EB odpowiednio kx, x, ky, y.

Przy tych oznaczeniach oczywiście \frac{CD}{AD}= \frac{CE}{EB} = k

(1) \frac{CE}{BC} =  \frac{k}{k+1}

Z tw. cosinusów mamy:
DE = \sqrt{x^2k^2+y^2k^2-2k^2xy\cos\gamma} = k\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\gamma}
AB =  \sqrt{x^2(k+1)^2+y^2(k+1)^2-2(k+1)^2xy\cos\gamma} = (k+1)\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\gamma}

Widać teraz, że \frac{DE}{AB} =  \frac{k}{k+1}, porównując to z faktem (1), mamy koniec dowodu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 cze 2015, o 01:17 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Jeżeli prosta przecinająca dwa boki trójkąta dzieli je proporcjonalnie, to jest równoległa do trzeciego boku.
Dowodzi się „nie wprost”.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 cze 2015, o 12:18 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Do a456:

No fakt raczej nie o takie rozwiązanie mi chodziło. Nie chciałbym używać tutaj twierdzenia kosinusów, poza tym nie wiem skąd równość(1).

Do SlotaWoj:

A skąd wiesz, że ta prosta przecinająca boki trójkąta dzieli je proporcjonalnie? Mamy tylko proporcję
\frac{|CD|}{|AD|}= \frac{|CE}{|EB|}, a stąd chyba nie wynika, że \frac{|CD|}{|CE|}= \frac{|BD}{|AE|} tzn. że chyba nie wynika, że EC proporcjonalne do DC tak jak AE proporcjonalne do BD.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 cze 2015, o 13:35 
Użytkownik

Posty: 134
Dario1, Ta równość (1) wynika stąd:
CE = ky, BC = CE+EB = ky + y = y(k+1), więc \frac{CE}{BC} =  \frac{ky}{y(k+1)},
pomyślę później nad czymś bez tw cosinusów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2015, o 15:35 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
a456 w tym równaniu jest dodawanie wektorowe?

Ogólnie:
Skąd wiadomo, że ta prosta przecinająca boki trójkąta dzieli je proporcjonalnie? Mamy tylko proporcję
\frac{|CD|}{|AD|}= \frac{|CE}{|EB|}, a stąd chyba nie wynika, że \frac{|CD|}{|CE|}= \frac{|BD}{|AE|} tzn. że chyba nie wynika, że EC proporcjonalne do DC tak jak AE proporcjonalne do BD.

Czy trójkąty ADC i BEC są podobne? I dlaczego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 cze 2015, o 01:06 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Na podstawie twierdzenia odwrotnego Talesa prosta k jest równoległa do boku \overline{AB} i trójkąty ABC i DEC są podobne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 W trójkącie ABC - zadanie 2  minnie12  1
 W trójkącie ABC - zadanie 13  Dario1  15
 W trójkącie ABC - zadanie 5  karol2859  1
 W trojkacie ABC  Snajpi  2
 W trójkącie ABC - zadanie 16  Dario1  1
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl