szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2015, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Łódź
Witam, muszę rozwiązać poniższą rekurencję funkcjami tworzącymi.

g_{0} =1\\
 g_{1} =1\\
 g_{n}= g_{n-1}+2 \cdot  g_{n-1} +  (-1)^{n}

stworzyłem uniwersalną zależność i rozszerzam ciąg g_{n} na ujemne n których wartości są równe 0:

\\ g_{n}= g_{n-1}+2 \cdot  g_{n-1} +  (-1)^{n}+\omega (n=1)

mnożę obydwie strony przez z^{n}

\\ z^{n} \cdot g_{n}= z^{n} \cdot g_{n-1}+z^{n} \cdot 2 \cdot  g_{n-1} +z^{n} \cdot   (-1)^{n}+z^{n} \cdot \omega (n=1)\\

i sumuję po całkowitych

G(z)=z \cdot G(z)+ z^{2}  \cdot G(z) + z +  \sum_{n \in Z}^{}(-z)^{n}

Ostatni szereg jest rozbieżny :( Ktoś może wie jak to obejść?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2015, o 19:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6604
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
g_{0} =1\\
 g_{1} =1\\
 g_{n}= g_{n-1}+2 \cdot  g_{n-1} +  (-1)^{n}

Ja rozwiązywałbym to równanie w ten sposób

G\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{g_{n}x^{n}}\\
 \sum_{n=2}^{ \infty }g_{n}x^{n}= \sum_{n=2}^{ \infty }g_{n-1}x^{n}+2 \sum_{n=2}^{ \infty }g_{n-2}x^{n}+ \sum_{n=2}^{ \infty }\left( -1\right)^n x^{n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }g_{n}x^{n}= x\sum_{n=2}^{ \infty }g_{n-1}x^{n-1}+2x^2 \sum_{n=2}^{ \infty }g_{n-2}x^{n-2}+\frac{x^2}{1+x}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }g_{n}x^{n}-x-1=x\sum_{n=1}^{ \infty }g_{n}x^{n}+2x^2 \sum_{n=0}^{ \infty }g_{n}x^{n}+\frac{x^2}{1+x}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }g_{n}x^{n}-x-1=x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }g_{n}x^{n}-1\right) +2x^2 \sum_{n=0}^{ \infty }g_{n}x^{n}+\frac{x^2}{1+x}\\
G\left( x\right)-x-1=x\left( G\left( x\right)-1 \right)+2x^2G\left( x\right)+\frac{x^2}{1+x}\\
G\left( x\right)-x-1=xG\left( x\right)-x+2x^2G\left( x\right)+\frac{x^2}{1+x}\\
\left( 1-x-2x^2\right)G\left( x\right)=1+\frac{x^2}{1+x}\\
\left( 1-x-2x^2\right)G\left( x\right)=\frac{x^2+x+1}{1+x}\\
G\left( x\right)= \frac{x^2+x+1}{\left( 1+x\right)\left( 1-x-2x^2\right)  }\\
G\left( x\right)=\frac{x^2+x+1}{\left( 1-2x\right)\left( 1+x\right)^2  }\\
\frac{x^2+x+1}{\left( 1-2x\right)\left( 1+x\right)^2  }= \frac{A}{1-2x}+\frac{B}{1+x}+\frac{C}{\left( 1+x\right)^2 }\\
A\left( 1+2x+x^2\right)+B\left( 1-x-2x^2\right)+C\left( 1-2x\right)=x^2+x+1\\
 \begin{cases} A+B+C=1 \\ 2A-B-2C=1\\A-2B=1 \end{cases}\\

\begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 2&-1&-2\\1&-2&0 \end{bmatrix} \\
w_2-2w_1\\
\begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&-3&-4\\1&-2&0 \end{bmatrix} \\
w_3-w_1\\
\begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&-3&-4\\0&-3&-1 \end{bmatrix} \\
w_3-w_{2}\\
\begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&-3&-4\\0&0&3 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 2&-1&-2\\1&-2&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 2&1&0\\1&1&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&-3&-4\\0&0&3 \end{bmatrix}  \\
\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 2&1&0\\1&1&1 \end{bmatrix} \cdot \left(\begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&-3&-4\\0&0&3 \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} A \\ B\\C \end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 2&1&0\\1&1&1 \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\y_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{bmatrix} \\
y_{1}=1\\
y_{2}=-1\\
y_{3}=1\\
\begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&-3&-4\\0&0&3 \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix} A \\ B\\C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\1 \end{bmatrix} \\
C=\frac{3}{9}\\
B=-\frac{1}{9}\\
A=\frac{7}{9}\\

G\left( x\right)=\frac{7}{9} \cdot  \frac{1}{1-2x}-\frac{1}{9} \cdot  \frac{1}{1+x} +\frac{3}{9} \cdot  \frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }

Teraz można skorzystać albo z dwumianu Newtona albo z różniczkowania szeregu geometrycznego

\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^{n}x^{n} }=\frac{1}{1+x}\\
 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^{n}x^{n} }\right)=
 \sum_{n=0}^{ \infty }{n\left( -1\right)^{n}x^{n-1} }=\\
\sum_{n=1}^{ \infty }{n\left( -1\right)^{n}x^{n-1} }=\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left(n+1\right)\left( -1\right)^{n+1}x^{n} }=\\
=-\sum_{n=0}^{ \infty }{\left(n+1\right)\left( -1\right)^{n}x^{n} }=\\
 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(  \frac{1}{\left( x+1\right) } \right)=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }  \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left(n+1\right)\left( -1\right)^{n}x^{n} }=\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\

G\left( x\right)=\frac{7}{9} \sum_{n=0}^{ \infty }{2^nx^n}-\frac{1}{9} \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^nx^n }+\frac{3}{9}\sum_{n=0}^{ \infty }{\left(n+1\right)\left( -1\right)^{n}x^{n} }\\
G\left( x\right)=\frac{7}{9} \sum_{n=0}^{ \infty }{2^nx^n}+\frac{1}{9} \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( 3n+2\right)\left( -1\right)^{n}x^n  } \\
g_{n}=\frac{7}{9} \cdot 2^{n}+ \frac{1}{9} \cdot \left( 3n+2\right)\left( -1\right)^n\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź funkcję tworzącą ciągów  kate8484  0
 Funkcje Tworzące - zadanie 4  spinaczo  0
 funkcje tworzace z rekurencja+ kombinatoryka  dafra  5
 Opinia - Rekurencja  combinev2  2
 Funkcje tworzące i rachunek różnicowy  wiwi249  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl