szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 cze 2015, o 16:00 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Warszawa
Witam, jestem w trakcie rozwiązywania dwóch zadań z indukcji i w obu natrafiłem na ścianę.
1. Indukcyjnie wykazać, ze liczba 2 ^{6n+1} + 3 ^{2n+2} jest podzielna przez 11 dla każdej liczby naturalnej n.

Krok 1.
dla n=1 jest 128+81=209 i to jest podzielne przez 11.
Krok 2.
Zakładam, że jest to prawdziwe również dlan=k, czyli 11 dzieli 2 ^{6k+1} + 3 ^{2k+2}
Krok 3.
Udowadniam, że jest to prawdziwe także dla n=k+1.

2 ^{6(k+1)+1} + 3 ^{2(k+1)+2}=2 ^{6k+7} + 3 ^{2k+4}=2 ^{6}  \cdot 2 ^{6k+1} + 3 ^{2}  \cdot  3 ^{2k+2}
Niestety, nie wiem, co robić dalej. Wiem, że trzeba wykorzystać założenie z kroku 2, ale w jaki sposób?

2. Indukcyjnie wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n \ge 18 istnieją liczby naturalne x i y takie, że n=4x+7y.

Krok 1.
Dla n=18 jest 18 = 4 \cdot 1 + 7 \cdot 2
Krok 2.
Zakładam, że jest to prawdziwe dla k  > 18, czyli mam k=4x+7y
Krok 3.
Udowadniam, że jest prawdziwe dla k+1=4a+7b
4x+7y+1=4a+7b
1=4(a-x)+7(b-y)
a-x=2 oraz b-y=-1
Domyślam się, że to nie koniec zadania i nie mogę tego tak zostawić. Ale co należy dalej zrobić?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 cze 2015, o 16:45 
Moderator

Posty: 1963
Lokalizacja: Trzebiatów
W niektórych miejscach pomyliłeś znaki "=", "+".
Zakładamy, że 2^{6n+1} + 3^{2n+2} = 11m, dla pewnego m. Musimy wykazać, że 11| 2^{6n+7} + 3^{2n+4}= 2^{6n+1} \cdot 2^{6} + 3^{2} \cdot 3^{2n+2} =3^{2}\left( 2^{6n+1} + 3^{2n+2}\right) + 55 \cdot 2^{6n+1} = 9 \cdot 11m + 5 \cdot 11 \cdot 2^{6n+1}.
Oczywiście suma liczb podzielnych przez 11 jest podzielna przez 11, co mieliśmy udowodnić.
W drugim wystarczy podstawić, jak sam zauwaźyłeś x = a - 2, y = b + 1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 13 dla określonego wzoru - zadanie 2  mnich9131  4
 indukcja matematyczna - pytanie  ZIELONY  2
 Coś (chyba :P) z indukcja związane  jackass  4
 indukcja  Anonymous  1
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl