szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 cze 2015, o 20:58 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Rzeszów
Stosując metodę funkcji tworzącej wyznaczyć postać jawną dla poniższego ciągu:
(1,3,1,5,1,7,1,9,\ldots).
Pierwszy element ciągu jest dla n=0, drugi dla n=1 itd.

Pomożecie? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2015, o 08:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6635
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
\begin{cases} a_{0}=1\\a_{1}=3\\a_{n}=a_{n-2}+2 \left( n \pmod 2\right)   \end{cases}

A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
 \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}}+ \sum_{n=2}^{ \infty }{2x^{2n-1}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-3x-1= x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}+ \frac{2x^3}{1-x^2}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-3x-1= x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+ \frac{2x^3}{1-x^2}\\
A\left( x\right)-3x-1= x^2A\left( x\right)+ \frac{2x^3}{1-x^2}\\
A\left( x\right)\left( 1-x^2\right)=\frac{2x^3+\left( 3x+1\right)\left( 1-x^2\right)  }{1-x^2}\\
A\left( x\right)=\frac{-x^3-x^2+3x+1}{\left( 1-x^2\right)^2 }  \\
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2015, o 08:52 
Gość Specjalny

Posty: 3051
Lokalizacja: Gołąb
a_{n}=\begin{cases} 1, \quad 2 \nmid n \\ n+1, \quad 2|n \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2015, o 09:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6635
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Chyba raczej tak
a_{n}=\begin{cases} 1, \quad 2 | n \\ n+2, \quad 2 \nmid n \end{cases}

Gdybyś przeczytał treść dokładniej to zauważyłbyś że ciąg numerowany jest od zera

Mając funkcję tworzącą łatwo otrzymać wzór jawny rozkładając ją na sumę tak aby łatwo było skorzystać z szeregu geometrycznego i jego pochodnych bądź z dwumianu Newtona

A\left( x\right)=\frac{-x^3-x^2+3x+1}{\left( 1-x^2\right)^2 }\\
\frac{-x^3-x^2+3x+1}{\left( 1-x^2\right)^2 }=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{\left( 1-x\right)^2 }+\frac{C}{1+x}+ \frac{D}{\left( 1+x\right)^2 } \\
A\left( 1-x\right)\left( 1+x\right)^2+B\left( 1+x\right)^2+C\left( 1+x\right)\left( 1-x\right)^2+D\left( 1-x\right)^2=-x^3-x^2+3x+1\\
A\left( 1-x\right)\left( 1+2x+x^2\right)+B\left( 1+2x+x^2\right)+C\left( 1+x\right)\left( 1-2x+x^2\right)+D\left( 1-2x+x^2\right)=-x^3-x^2+3x+1\\
A\left( 1+x-x^2-x^3\right)+B\left( 1+2x+x^2\right)+C\left( 1-x-x^2+x^3\right)+D\left( 1-2x+x^2\right)=-x^3-x^2+3x+1\\
 \begin{cases} A+B+C+D=1 \\ A+2B-C-2D=3\\-A+B-C+D=-1\\-A+C=-1 \end{cases}\\
\begin{cases} A+B+C+D=1 \\ A+2B-C-2D=3\\D=-B\\-A+C=-1 \end{cases}\\
 \begin{cases} A+C=1 \\ A+4B-C=3\\A-C=1\\D=-B \end{cases}\\
  \begin{cases} A+C=1 \\ 4B+1=3\\2A=2\\D=-B \end{cases}\\
 \begin{cases} C=0 \\ 2B=1\\A=1\\D=-B \end{cases}\\
 \begin{cases} C=0 \\ B=\frac{1}{2}\\A=1\\D=-\frac{1}{2} \end{cases}\\

A\left( x\right)= \frac{1}{1-x}+\frac{1}{2} \cdot  \frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }- \frac{1}{2} \cdot  \frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }


Pochodna szeregu geometrycznego

\frac{\mbox{d}^k}{\mbox{d}x^k}\left(\frac{1}{1-qx}\right)=\frac{q^k\cdot k!}{\left(1-qx\right)^{k+1}}\\
\frac{\mbox{d}^k}{\mbox{d}x^k}\left(\sum_{n=0}^{\infty}{q^nx^n}\right)=q^{k}\sum_{n=0}^{\infty}{\prod_{i=1}^{k}{\left(n+i\right)}q^nx^n}\\
\frac{k!}{\left(1-qx\right)^{k+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\prod_{i=1}^{k}{\left(n+i\right)}q^nx^n}



A\left( x\right)=  \sum_{n=0}^{ \infty }{x^{n}} +\frac{1}{2} \cdot \left(  \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right)x^{n} } \right) - \frac{1}{2} \cdot \left(  \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right)\left( -1\right)^{n} x^{n} } \right)  \\
a_{n}= 1+ \frac{1}{2}\left( n+1\right)- \frac{1}{2} \left( n+1\right) \cdot \left( -1\right)^n\\
a_{n}= \frac{1}{2}\left( n+3\right)-\frac{1}{2} \cdot\left( n+1\right)  \left( -1\right)^n\\
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 cze 2015, o 17:07 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Rzeszów
Wielkie dzięki ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2015, o 17:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 66
Lokalizacja: Polandia
Można oszczędzić sobie rachunków dzięki kilku spostrzeżeniom. Po pierwsze, funkcją tworząca dla ciągu (1,0,1,0,\dots) jest \textstyle \frac{1}{1-z^2}. Po drugie, dla ciągu (1,2,3,\dots) tworząca to \textstyle \frac 1 {(1-z)^2}. Po trzecie, parzyste składniki można "wyciąć" pisząc \frac{G(z) + G(-z)}{2} (nieparzyste z minusem).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2015, o 19:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6635
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Na początku pomyślałem o wzorku który podał bakala12,
ale zdecydowałem że funkcję tworzącą łatwiej będzie otrzymać ze wzorku rekurencyjnego
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Postać jawna ciągu - zadanie 2  0Mniac  1
 zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny  eoor  1
 Udowodnić sume ciągu  mostostalek  7
 Postac rekurencyjna ciagu 2,2,-4-4,8,8,-16,-16,32,32....  jesionekl  1
 Znajdz funkcje tworzaca ciagu  brasco  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl