Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

kolorowanie trójkątów - lemat burnside'a

Strona 1 z 1

[ Posty: 4 ]

Autor

Wiadomość

unn4m3nd Offline

Tytuł: kolorowanie trójkątów - lemat burnside'a

Napisane: 13 cze 2015, o 14:09

Posty: 323
Lokalizacja: Pomorze

Cytuj:

Trójkąt równoboczny dzielimy na 6 jednakowych trójkatów, prowadząc w nim trzy środkowe. Na ile sposobów można pokolorować tych 6 trójkącików za pomocą dwóch kolorów, jeżeli dwa pokolorowania uznajemy za równoważne, gdy jedno z nich można uzyskać z drugiego przez obrót lub symetrię?

Wiem, że trzeba skorzystać z Lematu Burnside'a, ale nie mam pojęcia jak.
$\left| x\right| = 2^6$
2, bo 2 kolory, a do potęgi 6 bo powstało 6 trójkątów?
Teraz należałoby wypisać wszystkie obroty i osie symetrii ale tego już nie potrafię.
Proszę o pomoc.
Pozdrawiam

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019

Góra

wiedzmac Offline

Tytuł: kolorowanie trójkątów - lemat burnside'a

Napisane: 13 cze 2015, o 14:57

Posty: 481
Lokalizacja: Sucha/Wrocław

Popatrz na grupę symetrii trójkąta, czyli obroty o odpowiednio o $0, 60, 180$ stopni oraz symetrie (są trzy). Popatrz ile mamy punktów stałych w każdym przekształceniu (tzw fixy). Sumujesz je i dzielisz przez $6$ - to szukany wynik.

Góra

unn4m3nd Offline

Tytuł: kolorowanie trójkątów - lemat burnside'a

Napisane: 13 cze 2015, o 15:19

Posty: 323
Lokalizacja: Pomorze

Znalazłem takie rozwiązanie tego zadania:
$2^6$ - możliwych pokolorowań
Obroty o 0, 120 i 240 stopni.
$Fix(0) = 2^6\\ Fix(120) = 2^2 = Fix(240)$

Zatem $G = \frac{1}{3} ( 2^6 + 2^2 + 2^2 )$

Ale nadal tego nie widzę dlaczego $2^2$ ? Dla mnie jedynie środek jest punktem stałym a gdzie ten drugi punkt?

-- 13 cze 2015, o 19:23 --

Ktoś, coś?

Góra

Quenshin Offline

Tytuł: kolorowanie trójkątów - lemat burnside'a

Napisane: 14 cze 2015, o 15:51

Posty: 15
Lokalizacja: localhost

Obrazek (obrót o 120°):
Obrazek

Strzałki pokazują co przechodzi na które miejsce przy obrocie o 120°. Jak widzisz trzy z sześciu tych trójkątów przechodzą przy obrocie na swoje miejsca w taki sposób i muszą być w związku z tym tego samego koloru. Zostają jeszcze 3 inne w prawie identycznym układzie. Stąd masz $2^{2}$ .

Symetrie masz narysowane - są to środkowe tego trójkąta.

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 4 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Liczba trójkątów i liczba rozwiązań	placky	8
Ile może powstać trójkątów... - zadanie 2	alexiss91	1
Graf planarny bez trójkątów	lidka95	1
Kolorówanie - graf dopełniony i zwykły	matinf	5
kolorowanie grafów - zadanie 3	flashion	0

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]