szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2015, o 14:09 
Użytkownik

Posty: 324
Lokalizacja: Pomorze
Cytuj:
Trójkąt równoboczny dzielimy na 6 jednakowych trójkatów, prowadząc w nim trzy środkowe. Na ile sposobów można pokolorować tych 6 trójkącików za pomocą dwóch kolorów, jeżeli dwa pokolorowania uznajemy za równoważne, gdy jedno z nich można uzyskać z drugiego przez obrót lub symetrię?


Wiem, że trzeba skorzystać z Lematu Burnside'a, ale nie mam pojęcia jak.
\left| x\right| = 2^6
2, bo 2 kolory, a do potęgi 6 bo powstało 6 trójkątów?
Teraz należałoby wypisać wszystkie obroty i osie symetrii ale tego już nie potrafię.
Proszę o pomoc.
Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2015, o 14:57 
Użytkownik

Posty: 491
Lokalizacja: Sucha/Wrocław
Popatrz na grupę symetrii trójkąta, czyli obroty o odpowiednio o 0, 60, 180 stopni oraz symetrie (są trzy). Popatrz ile mamy punktów stałych w każdym przekształceniu (tzw fixy). Sumujesz je i dzielisz przez 6 - to szukany wynik.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2015, o 15:19 
Użytkownik

Posty: 324
Lokalizacja: Pomorze
Znalazłem takie rozwiązanie tego zadania:
2^6 - możliwych pokolorowań
Obroty o 0, 120 i 240 stopni.
Fix(0) = 2^6\\
Fix(120) = 2^2 = Fix(240)

Zatem G =  \frac{1}{3} ( 2^6 + 2^2 + 2^2 )

Ale nadal tego nie widzę dlaczego 2^2 ? Dla mnie jedynie środek jest punktem stałym a gdzie ten drugi punkt?

-- 13 cze 2015, o 19:23 --

Ktoś, coś?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 cze 2015, o 15:51 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: localhost
Obrazek (obrót o 120°):
Obrazek
Strzałki pokazują co przechodzi na które miejsce przy obrocie o 120°. Jak widzisz trzy z sześciu tych trójkątów przechodzą przy obrocie na swoje miejsca w taki sposób i muszą być w związku z tym tego samego koloru. Zostają jeszcze 3 inne w prawie identycznym układzie. Stąd masz 2^{2}.

Symetrie masz narysowane - są to środkowe tego trójkąta.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Budowanie trójkątów, roznoszenie listów  zielony19  8
 [kolorowanie grafów] Zadania  Rafal88K  0
 Graf planarny bez trójkątów  lidka95  1
 Lemat w związku z grafami  matinf  0
 Lemat Burnside'a - zadanie 2  Anonymous  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl