szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 cze 2015, o 13:31 
Użytkownik

Posty: 650
Lokalizacja: łódź
Mam rozwiązać następującą rekurencję za pomocą funkcji tworzących
g_{0}=1, g_{1}=1, g_{n}=g_{n-1}+2g_{n-2}+(-1)^{n}
Tworzę uniwersalną tożsamożść rekurencyjną
g_{n}=g_{n-1}+2g_{n-2}+(-1)^{n} ,n \in \ZZ
dalej
\sum_{n \ge 0} g_{n}z^{n}= \sum_{n \ge 0}^{} g_{n-1}z^{n}+2 \sum_{n \ge 0} g_{n-2}z^{n}+(-1)^{n}z^{n}

G(z)= \sum_{n \ge 0}g_{n}z^{n}
zatem
G(z)=zG(z)+2z^{2}G(z)+ \frac{1}{1+z}
G(z)= \frac{-1}{(1+z)(z+1+2z^{2})}

czy to wgl jest dobrze? jeśli tak to co dalej ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 cze 2015, o 16:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Trochę źle chyba, ja mam taką funkcję tworzącą:

-\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2 (2 z-1)}.

Twoje równanie jest prawie dobre, bo brakuje po prawej stronie z.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 cze 2015, o 16:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 321
Lokalizacja: Gówniak k. Bukowiny
A gdzie masz uwzglednione warunki poczatkowe?

Pozwolisz, ze przepisze sobie w takiej postaci:
g_{n+2}=g_{n+1}+2g_n+(-1)^n

\frac{1}{x^2}(G(x)-g_0-g_1x)=\frac{1}{x}(G(x)-g_0)+2G(x)+\frac{1}{1+x}


\frac{1}{x^2}(G(x)-1-x)=\frac{1}{x}(G(x)-1)+2G(x)+\frac{1}{1+x}

G(x)=-\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2 (2x-1)}

Teraz trzeba znalezc ciag, funkcja tworzaca ktorego ma postac jak wyzej.
W tym celu trzeba toto rozlozyc na ulamki proste.
=-\frac{7}{9}\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{9}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{3}\frac{1}{(x+1)^2}

i zapisac tak, by dalo sie odczytac ciag, odpowiadajacy funkcjom tworzacym.

=\frac{7}{9}\frac{1}{1-2x}-\frac{1}{9}\frac{1}{1-(-x)}+\frac{1}{3}\frac{1}{(1-(-x))^2}

Korzystajac z liniowosci przeksztalcenia odwrotnego dostajemy:

g_n=\frac{7}{9}2^n-\frac{1}{9}(-1)^n+\frac{1}{3}(-1)^n(n+1)=\frac{1}{9}(7\cdot 2^n+(3n+2)(-1)^n)

(Wolfram potwierdzil ;))

Medea, Faktycznie, zgubilam ten ciag, dziekuje, poprawiam sie.
Ukryta treść:    
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 cze 2015, o 16:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Czekaj, czekaj, to jest źle. Zgubiłaś (-1)^n.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rekurencja funkcje tworzace  Gogeta  1
 postać zwarta ciągu + f. tworzące  anders90  7
 Funkcje sufit i podłoga  Watari  5
 Rekurencja liniowa niejednorodna - gdzie jest błąd?!  Edward D  2
 Podać postać zwartą ciągu (FUN. TWORZACE)  3squad  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl