szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 cze 2015, o 23:58 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Kraków
Zadanie polega na znalezieniu wzoru jawnego mając funkcję tworzącą \frac{x^3}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)} którą rozbiajmy na ułamki proste -\frac{1}{24(x-1)^3}+\frac{13}{288(x-1)}-\frac{1}{16(x+1)^2}-\frac{1}{32(x+1)}-\frac{x+1}{8(x^2+1)}+\frac{x+2}{9(x^2+x+1)}.
Idea jest taka, aby zamienić te wyrażenia na szeregi potęgowe i wyznaczyć współczynnik przy x^n. W ten sposób otrzymamy t(n), jako że \sum_{n=0}^{\infty}t(n)x^n=\frac{x^3}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}. Do tej pory udało mi się zrobić pierwsze cztery, mam problem z dwoma ostatnimi. Istnieje wskazówka aby przedostatni i ostatni wyraz pomnożyć przez odpowiednio 1-x^2 i 1-x. Póki co mam tyle:
-\frac{(x+1)(1-x^2)}{8(x^2+1)(1-x^2)}=\frac{x^3+x^2-x-1}{8(1-x^4)}=\frac{1}{8}(x^3+x^2-x-1) \sum_{n=0}^{\infty} x^4n

\frac{(x+2)(1-x)}{9(x^2+x+1)(1-x)}=\frac{1}{9}(-x^2-x+2) \sum_{n=0}^{\infty} x^3n

Dalej nie wiem co zrobić, proszę o pomoc jeśli ktoś miał styczność kiedyś z czymś podobnym.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 cze 2015, o 10:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Pokażę, jak zabrać się za ostatni człon. Po skorzystaniu ze wskazówki masz:

\frac{2 - x - x^2}{9(1-x^3)}.

Rozbijasz na trzy:

9 \cdot \left (2 \cdot \frac 1 {1-x^3} - x \cdot  \frac 1 {1-x^3} - x^2 \cdot  \frac 1 {1-x^3} \right).

Teraz już sobie poradzisz chyba. Musisz rozwinąć \textstyle \frac{1}{1-q} w szereg potęgowy i wstawić q = x^3.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wariacje z powtorzeniami : wzor  hipero  3
 Ile monitorów można wybrać ?? jaki wzor?  Anonymous  1
 Funkcje niemalejące  author  6
 wyprowadzenie wzoru na funkcję Eulera  nykus  2
 [Dyskretna/Kombinacje] Wzór - twierdzenie do udowodnienia  Szczawik  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl