szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2015, o 13:39 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Legnica
Witam.
Na początku chciałbym przeprosić, ponieważ mój problem jest zapewne trywialny, ale niestety nie wiem od której strony go ugryźć.

Mając w przestrzeni punkty:
A = (37.499 ; 25.743 ; 14.571)
B = (38.794 ; 25.761 ; 13.880)
C = (38.728 ; 26.591 ; 12.661)

mam znaleźć współrzędne punktu D wiedząc, że długość wektora {BD} wynosi 1.5 .

wiadomo również, że kąty |ABC|, |ABD|, |CBD| są równe 109,5 stopni, natomiast kąt między wektorem {BD} a płaszczyzną utworzoną z punktów | ABC| jest równy 120 stopni.

Zamieszczam również obrazek poglądowy jak to ma wyglądać (po lewej widok od boku, po prawej widok z góry). A - ciemnoniebieski, B - jasnoniebieski, C - różowy, hipotetyczny D - żółty.
Obrazek

Byłbym bardzo wdzięczny gdyby, ktoś mi wytłumaczył, najlepiej krok po kroku, jak to rozwiązać.
Pozdrawiam
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2015, o 05:13 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Twoje dane nie są zbyt dokładne. \angle ABC\neq109,5^\circ i wynosi 110,865^\circ.

Sposób rozwiązania jest następujący:

Wektory definiujące płaszczyznę \Pi_{ABC}:

    \overrightarrow{BA}=A-B=[x_A-x_B;y_A-y_B;z_A-z_B]=[x_{BA};y_{BA};z_{BA}]
    \overrightarrow{BC}=C-B=[x_C-x_B;y_C-y_B;z_C-z_B]=[x_{BC};y_{BC};z_{BC}]

Równanie płaszczyzny \Pi_{ABC}:

    a_{ABC}x+b_{ABC}y+c_{ABC}z+d_{ABC}=0

gdzie:
    a_{ABC}=\begin{vmatrix}y_{BA}&z_{BA}\\y_{BC}&z_{BC}\end{vmatrix} \quad b_{ABC}=\begin{vmatrix}z_{BA}&x_{BA}\\z_{BC}&x_{BC}\end{vmatrix} \quad c_{ABC}=\begin{vmatrix}x_{BA}&y_{BA}\\x_{BC}&y_{BC}\end{vmatrix}
    d_{ABC}=-a_{ABC}x_B-b_{ABC}y_B-c_{ABC}z_B

Wektor [a_{ABC};b_{ABC};c_{ABC}] \perp \Pi_{ABC}

Wyznaczamy punkt F=B+[a_{ABC};b_{ABC};c_{ABC}] (koniec wektora \overrightarrow{BF}).

W podobny sposób wyznaczamy równania płaszczyzn \Pi_{ABF} (\perp\Pi_{ABC}i zawierająca \overrightarrow{BA}) oraz \Pi_{CBF} (\perp\Pi_{ABC}i zawierająca \overrightarrow{BC}); otrzymujemy ich współczynniki a_{ABF}, b_{ABF}, c_{ABF} i d_{CBF} oraz a_{CBF}, b_{CBF}, c_{CBF} i d_{CBF}

Ponieważ podałeś, że \angle ABD = \angle CBD, więc trzeba wyznaczyć równanie płaszczyzny dwusiecznej do płaszczyzn \Pi_{ABF} i \Pi_{CBF}, które jest następujące:

    \frac{a_{ABF}x+b_{ABF}y+z_{ABF}+d_{ABF}}{\sqrt{a_{ABF}^2+b_{ABF}^2+c_{ABF}^2}}={\red{\pm}}\frac{a_{CBF}x+b_{CBF}y+z_{CBF}+d_{CBF}}{\sqrt{a_{CBF}^2+b_{CBF}^2+c_{CBF}^2}}

Znak \pm trzeba określić tak, aby płaszczyzna dwusieczna rozdzielała punkty A i C.

Oznaczmy tę płaszczyznę jako \Pi_{EBF} gdzie E jest punktem należącym do prostej AC, trzeba wyznaczyć współrzędne tego punktu oraz współrzędne wektora \overrightarrow{BE}.

Wektor \overrightarrow{BF} trzeba przeskalować, aby jego długość była równa 1,5\cdot\cos30^\circ, będziemy mieli wektor \overrightarrow{BG}.

Ponieważ podałeś, że kąty \angle ABD i \angle CBD są rozwarte, więc wektor przeciwny do \overrightarrow{BE}, czyli {\red{-}}\overrightarrow{BE} trzeba przeskalować, aby jego długość była równa 1,5\cdot\cos60^\circ, będziemy mieli wektor \overrightarrow{BH}.

Wektor \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{BH}, a D=B+\overrightarrow{BD}.

Równanie płaszczyzny dwusiecznej oraz sposób wyznaczania współrzędnej punktu E trzeba przekształcić tak, aby wszystkie obliczenia można było zrobić w Excelu przy pomocy formuł i funkcji wbudowanych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 12:26 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Legnica
Przyznaję, że dane mogą być niedokładne, ponieważ pochodzą one ze struktur krystalograficznych aminokwasów, a drgające atomy powodują odchylenia od idealnych wartości kątów między wiązaniami i długościami wiązań: ) Chciałem tylko zapewnić pewien punkt odniesienia : )

Niemniej jednak, Pańskie rozpisanie problemu bardzo mi pomogło zrozumieć oraz rozwiązać problem, na który się natknąłem, za co serdecznie dziękuję i pozdrawiam : )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 15:43 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Wychodzi:

    D=(39,053;24,356;13,424)
    \angle ABD=\angle CBD=106,481^\circ

Warto podczas obliczeń sprawdzać, czy te wektory lub płaszczyzny, które mają być prostopadłe rzeczywiście takie są.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczyć współrzędne punktu F  S1nner  0
 Współrzędne wierzchołków kwadratu  Zasados  1
 Współrzędne środka odcinka  Jmoriarty  3
 wyznaczanie współrzędnych punktów - zadanie 2  coolgirl  6
 współrzedne środka okręgu  robin5hood  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl