szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2015, o 15:28 
Użytkownik

Posty: 54
Lokalizacja: Kościerzyna
A  \setminus  (A \setminus B) = A\cap B

Tak rozpoczynam dowód:
Niech x\in  A \setminus(A \setminus B) zatem x\in A  \wedge   x \not\in (A\setminus B) z tego wnika x \in A \setminus (A \setminus B)  \subseteq  A \cap B

I tera mam problem z drugą częścią
Niech y  \in A \cap B wtedy y \in A  \wedge  y \in B Nie wiem co dalej :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2015, o 15:34 
Użytkownik

Posty: 15818
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jak tę ostatnia koniunkcję wyrazisz w języku A\setminus B?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2015, o 15:49 
Użytkownik

Posty: 54
Lokalizacja: Kościerzyna
a4karo, No właśnie jedyne co mi przycodzi do głowy to od razy wpisać x \in A \setminus (A \setminus B) bo z definicji różnicy wynika że element należy do peirwszego zbioru a nie należy do drugiego, a skoro x należy i do A i do B no to nie wiedzę innej opcji, ale nie wiem czy mogę od razu tak sobie zapisać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 cze 2015, o 16:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1229
Ja bym dowód przeprowadził tak.

Najpierw pokazuję zawieranie w prawo. Ustalam dowolny x\in A\setminus (A\setminus B). Wtedy x\in A \wedge x\not\in (A\setminus B). Znaczy to, że x\in A oraz x\in (A\setminus B)^c. To z kolei oznacza, że x\in A oraz x\in A^c\cup B, ponieważ (A\setminus B)^c = (A\cap B^c)^c = A^c\cup B - druga równość to prawo de Morgana. Skoro tak, to ostatecznie otrzymujemy, że (x\in A) \wedge (x\in A^c\cup B). Mamy koniunkcię, więc musi być, żę x\in A. Wtedy x\in B (implikacja jest prawdziwa iff oba jej człony są spełnione), zatem x\in A\cap B.

Teraz zawieranie w lewo. Patrz dowód implikacji w prawo - wszystkie przejścia są równoważne, zatem możesz ten dowód przeczytać wspak i dostaniesz dowód zawierania w lewo.

Można też rozumować tak przy dowodzie zawierania w lewo. Załóżmy nie wprost, że istnieje x\in A\cap B takie, że x\not\in A\setminus (A\setminus B). To znaczy, że x\not\in A lub x\in (A\setminus B). Jeśli spełniony jest pierwszy człon alternatywy, to sprzeczność, bo x\in A\cap B, zatem w szczególności x\in A.
Jeżeli spełniony jest drugi człon, to wtedy x\not\in B, to również prowadzi do sprzeczności, bo z założenia mamy, że x\in A\cap B, zatem x\in B. Na mocy zasady wyłączonego środka (czy jakoś tak) - koniec.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 cze 2015, o 16:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Skoro x nie należy do (A \setminus B), to należy do jego dopełnienia: (A \cap B^c)^c = A^c \cup B. Co możesz z tego wyciągnąć?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 liczba par zbiorów  MikolajB  3
 Udowodnij że graf jest spójny  uczen23  1
 Liczba możliwości z kilku zbiorów różnej mocy  Kanins  1
 Udowodnij istnienie - zadanie 2  Dario1  1
 Udowodnij tożsamość kombinatorycznie  jajokop  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl