szukanie zaawansowane
 [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 14:38 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Rzeszów
Cześć. Mam problem z takim zadaniem:

Sprawdź, która z liczb jest większa:
\sqrt7^{\sqrt8}
czy:
\sqrt8^{\sqrt7}

Próbowałem logarytmować obustronnie (podstawa pierw. z 7 i pierw, z 8), oraz próbowałem też doprowadzić do wspólnej podstawy i badać wykładniki, niestety to na nic...

Ktoś, coś? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 15:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17594
Lokalizacja: Cieszyn
Zlogarytmuj stronami i poprzenoś \sqrt{7} na jedną stronę, a \sqrt{8} na drugą. Niech f(x)=\frac{\ln x}{x}. Zbadaj monotoniczność tej funkcji.

Ogólnie więc w dobrym kierunku myślałeś. Mam nadzieję, że Twoja znajomość matematyki obejmuje badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnych. To właśnie proponuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 16:12 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Rzeszów
^szw1710, dzięki!
Hmm, doprowadziłem sobie do takich postaci, tylko pojawił się taki problem:
Miejscem zerowym pochodnej jest e, a
\sqrt{7}<e< \sqrt{8}, czyli funkcja maleje i rośnie na interesującym mnie przedziale :/ Jak sobie z tym poradzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 17:02 
Użytkownik

Posty: 531
Lokalizacja: Polska
Może skorzystać z szeregu Taylora.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 17:31 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Rzeszów
A coś na poziomie liceum wchodzi w grę? :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2015, o 16:33 
Użytkownik

Posty: 531
Lokalizacja: Polska
Załóżmy że x=7, wtedy można napisać taką nierówność:

\sqrt{x}^{\sqrt{x+1}}>\sqrt{x+1}^{\sqrt{x}}\\
x^{\frac{\sqrt{x+1}}{2}}>(x+1)^{\frac{\sqrt{x}}{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2015, o 20:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3497
Lokalizacja: PWr ocław
Elayne, to ja czekam teraz na dowód tego (na poziomie liceum) :p Też o tym myślałem, ale do niczego mądrego nie doszedłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2015, o 22:30 
Użytkownik

Posty: 531
Lokalizacja: Polska
Myślałem o czymś takim:
Biorąc pod uwagę fakt że wszystkie wyrażenia są dodatnie, to możemy zapisać równoważnie:
(x+1)(\log x)^2>x(\log x+1)^2\\
x \log^2 (x)+ \log^2 (x)>x \log^2 (x+1)
Stąd mamy x>6,91156 dla takiej wartości x nierówność jest prawdziwa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2015, o 22:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9876
Lokalizacja: Wrocław
A jak sprawdzamy, że dla takich akurat wartości nierówność jest prawdziwa? Równie dobrze od razu można by wrzucić do wolframa.
Sam niestety nie umiem tego zrobić (podać elementarnego rozwiązania, nie wpisać do wolframa).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2015, o 22:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3497
Lokalizacja: PWr ocław
Nie przekonałeś mnie ani trochę, podpisuję się pod postem Premislava :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2015, o 20:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1427
Lokalizacja: LBN
Ten sam problem tutaj:
http://mathforum.org/library/drmath/view/70271.html
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2015, o 21:58 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Rzeszów
Jak mi powiecie jak udowodnić, że 7^{31} > 8^{29}, to będę miał gotowe rozwiązanie :P

Wychodzimy od:

29^{2} \cdot 8 > 31^{2} \cdot 7 (1)

oraz

7^{31} > 8^{29} (2)


Na podstawie (1):

29 \sqrt{8}>31 \sqrt{7} (3)

8^{29 \sqrt{8} } > 8^{31 \sqrt{7} } (4)


A na podstawie (2):

7^{31 \sqrt{8} } > 8^{29 \sqrt{8} } (5)

I na podstawie (4) i (5), stosując twierdzenie, że jeżeli a>b, oraz b>c, toa>c:

7^{31 \sqrt{8} } > 8^{31 \sqrt{7} }

Teraz pierwiastkujemy obustronnie pierwiastkiem 62. stopnia:

\sqrt{7} ^{ \sqrt{8} } >  \sqrt{8} ^{ \sqrt{7} }

Rozwiązanie nie jest moje, dziękuję za pomoc Pawel5510515 z forum zadane.pl :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2015, o 22:24 
Użytkownik

Posty: 71
Lokalizacja: Warszawa
ja znalazłem (chyba) dowód tej nierówności:

7^{31}>8^{29}

ale to już niepotrzebne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2015, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Rzeszów
Dlaczego niepotrzebne? Bo nie do końca zrozumiałem. Teoretycznie można to liczyć ręcznie, ale to jest 26 cyfr, więc bez kalkulatora może być problem :v
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2015, o 00:02 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Kraków
jak mamy to co ktos juz napisal, tyle ze nad tym znakiem nierownosci znak zapytania:
\sqrt{x}^{\sqrt{x+1}}>\sqrt{x+1}^{\sqrt{x}}\\ x^{\frac{\sqrt{x+1}}{2}}>(x+1)^{\frac{\sqrt{x}}{2}}
x^{\frac{\sqrt{(x+1)x}}{\sqrt{x}}}>(x+1)^{\frac{\sqrt{(x+1)x}}{\sqrt{x+1}}
x^{\frac{1}{\sqrt{x}}}>(x+1)^{\frac{1}{\sqrt{x+1}}
teraz trzeba zbadać monotoniczność f(x)=x^{\frac{1}{\sqrt{x}}} za pomocą pochodnych
i wychodzi, ze faktycznie nierownosc jest dobrze postawiona
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sprawdź, która liczba jest większa - zadanie 2  Celmer12  1
 Sprawdź, która liczba jest większa  metamatyk  3
 Co to jest liczba kolista??  Anonymous  12
 Udowodnij że x=... jest dla każdych argumentów a,b,c mni  magik100  2
 Udowodnić, że 0 jest większe od 3.  Hetacz  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl