szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 14:07 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Bytom
Witajcie,
głowię się troszkę nad jednym zadaniem.

Czy istnieje funkcja odwrotna do funkcji f: \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3
f(x, y, z) = (x^2 + 2y - 1, 3 - x, y^2 - z + 5).

Jeśli tak, wyznaczyć ją.

W teorii wiem, że funkcja odwrotna istnieje w momencie, gdy f jest bijekcją. Ogólnie potrafię sprawdzać iniekcję i surjekcję w podstawowych przykładach, jednak tutaj kompletnie nie wiem jak się za to zabrać.

Jeśli chodzi o wyznaczenie funkcji odwrotnej, chyba dobrze kombinuję zapisując:

\left\{\begin{array}{l} x^2+2y-1=x'\\3-x=y'\\y^2 - z + 5=z' \end{array}

Tylko co z tą nieszczęsną bijekcją? :(
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 14:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Żeby sprawdzić, czy funkcja ma funkcję odwrotną, musisz wiedzieć, czy jest bijekcją. Potrzebne są dwie rzeczy: różnowartościowość i bycie "na".

Różnowartościowość jest prosta. Weź dwie trójki, (a,b,c) i (d,e,f). Jeżeli funkcja f ma w nich taką samą wartość, to a^2 + 2b - 1 = d^2 + 2e-1, 3-a = 3-d, b^2-c+5 = e^2-f + 5. Z drugiego równania wynika, że a = d. Zatem a^2 = d^2 i b = e. Jak wstawisz to do trzeciego równania, to okaże się, że -c = -f, czyli (a,b,c) = (d,e,f). Okej, to mamy z głowy.

Jak chcesz sprawdzić, czy to jest surjekcja (funkcja na), to musisz wziąć (a,b,c) \in \RR^3 i wskazać (najlepiej) taki (x,y,z) \in \RR^3, żeby f(x,y,z) = (a,b,c). Jesteś w stanie?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 14:23 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Bytom
Jeśli dobrze rozumiem:
\left\{\begin{array}{l} x^2+2y-1=a\\3-x=b\\y^2 - z + 5=c \end{array}

Wtedy
\left\{\begin{array}{l} y =\frac{a + 1 - (3 - b)^2}{2} \\ x = 3 - b \\ z = \big(\frac{a + 1 - (3 - b)^2}{2}\big)^2 - c + 5  \end{array}

Jest to surjekcja, ponieważ nie wyskoczyły mi żadne warunki wyrzucające coś z dziedziny, np. któraś z literek w mianowniku albo pierwiastek?

W takim razie te powyższe rozwiązania stanowią także od razu funkcję odwrotną?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 14:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Tak, dobrze wyznaczyłaś funkcję odwrotną. Wystarczy sprawdzić, że obydwa złożenia (tej z zadania i tej podejrzanej o bycie odwrotną) dają identyczność.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 cze 2015, o 14:41 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Bytom
Dziękuję!! :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 bijekcja i funkcja odwrotna  suzzy23  3
 Bijekcja i funkcja odwrotna - zadanie 2  Wilinho10  7
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl