szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2015, o 21:28 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Polska
Otóż treść zadania brzmi:
Wykazać, stosując indukcję matematyczną, że rozwiązaniem równania rekurencyjnego:
s(n)= \begin{cases} 0, n=0 \\ c + s(n-1), n>0 \end{cases}
jest s(n)=cn.

Sam próbowałem tak:

obliczyłem podstawę indukcji czyli, że równanie jest prawdziwe dla przypadku początkowego:
s(0)=c \cdot 0=0,
a więc tak samo jak w równaniu rekurencyjnym.
Następnie zakładam że
s(n)=cn
i to będę chciał dowieść.
Jako krok indukcyjny wziąłem:
s(n+1)=c(n+1)=c + cn
i w tym momencie utknąłem, nie bardzo wiem jak teraz dalej to ugryżć.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 cze 2015, o 22:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11865
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Następnie zakładam że
s(n)=cn
i to będę chciał dowieść.

Jeżeli coś zakładamy, to uznajemy to za prawdziwe, więc dowodzenie tego jest pewną ekstrawagancją. ;)
Chyba nie o to chodzi. Raczej dążysz do pokazania, że z prawdziwości tezy dla dowolnie ustalonego n wynika jej prawdziwość dla n+1

Należałoby zacząć ten krok jakoś tak: ze wzoru rekurencyjnego s(n+1)=c+s(n). Z założenia indukcyjnego podstawiamy s(n)=cn
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2015, o 10:20 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Polska
A więc za tezę powinienem przyjąć:
s(s+1)=c+s(n) ?
co daje nam z dowodzonego wzoru s(n)=cn
s(n+1)=c(s(n)+1)= c(n+1)=c+cn??
Powinienem też w dowieść tego dla s(n+2), bo wiem, że w tezie tylko coś zakładamy, a nie tego dowodzimy, robimy to dopiero w kroku indukcyjnym i tutaj jeszcze mam troszkę mętlik w głowie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2015, o 11:12 
Administrator

Posty: 22267
Lokalizacja: Wrocław
Najwyraźniej nie odróżniasz tezy twierdzenia od tezy indukcyjnej.

Teza twierdzenia, której prawdziwość chcesz dowieść mówi, że dla zadanego stosownym równaniem rekurencyjnym ciągu s(n) jego wyraz ogólny jest postaci cn, czyli że dla dowolnej liczby naturalnej zachodzi równość s(n)=cn. By dowieść prawdziwości tej tezy zamierzasz skorzystać z Zasady Indukcji Matematycznej (ZIM), ale żeby to zrobić musisz sprawdzić, czy są spełnione jej założenia. A założenia są dwa:

1. Teza twierdzenia zachodzi dla n=0. To sprawdziłeś.

2. Z prawdziwość tezy dla dowolnego ustalonego n wynika prawdziwość tej tezy dla n+1. To założenie nazywamy zazwyczaj krokiem indukcyjnym. Zauważ, że nie mówimy tutaj o tym, że dla dowolnego ustalonego n prawdziwa jest teza (co próbowałeś robić na początku i co wytknął Ci Premislav). My chcemy tylko pokazać wynikanie: ustalamy dowolne n i sprawdzamy, czy jeśli założymy, że teza jest prawdziwa dla n (to nazywa się założeniem indukcyjnym - dokładniej: założeniem kroku indukcyjnego), to wynika z tego, że teza jest prawdziwa dla n+1 (to nazywa się tezą indukcyjną - dokładniej: tezą kroku indukcyjnego). Ten fragment powinien wyglądać tak:

Przypuśćmy, że dla dowolnego ustalonego n mamy s(n)=cn. Z definicji rekurencyjnej ciągu mamy

s(n+1)=c+s((n+1)-1)=c+s(n)=\mbox{ zał. ind }=c+cn=c(n+1),

czyli teza indukcyjna jest prawdziwa. To kończy dowód kroku indukcyjnego. Wobec tego spełnione są założenia ZIM i stosując ją otrzymujemy tezę, czyli że dla dowolnej liczby naturalnej zachodzi równość s(n)=cn.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2015, o 17:26 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Polska
Po twoim tłumaczeniu już rozumiem to dużo lepiej, dziękuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja matematyczna - pytanie  ZIELONY  2
 Coś (chyba :P) z indukcja związane  jackass  4
 indukcja  Anonymous  1
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 Indukcja Matematyczna [Zadanie]  Caspy  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl