szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2015, o 12:53 
Użytkownik

Posty: 250
Witam,

mam taką nierówność do rozwiązania:

\frac{2}{x-1}  \ge  \frac{1}{x}

Moje rozwiązanie:

\frac{2}{x-1}  \ge  \frac{1}{x}  \Rightarrow  \frac{2}{x-1}  - \frac{1}{x}   \ge  0

\frac{2x - (x-1)}{x^{2}-x}  \ge  0  \Rightarrow  \frac{-2x(x-1)}{x(x-1)}   \ge  0

\frac{-x(x-1)}{(x-1)}   \ge  0  \Rightarrow x \le  0

ale odpowiedź jest inna, co jest nie tak ?

Dzięki
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 cze 2015, o 12:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2759
Skąd wzięła Ci się ta implikacja?

\frac{2x - (x-1)}{x^{2}-x} \ge 0 \Rightarrow \frac{-2x(x-1)}{x(x-1)} \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2015, o 13:14 
Użytkownik

Posty: 250
Nie rozumiem, co jest nie tak ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 cze 2015, o 13:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2759
2x-(x-1)=2x-x+1=x+1

Czy nie tak powinno być?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2015, o 13:23 
Użytkownik

Posty: 250
Poszukujaca napisał(a):
2x-(x-1)=2x-x+1=x+1

Czy nie tak powinno być?


Ahh racja, nie wiem skąd wcisnąłem tam iloczyn. Dzięki

Wracając do nierówności:

Mamy więc teraz taką sytuację \Rightarrow \frac{x+1}{x(x-1)} \ge 0

Jak sobie z tym poradzić ?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 cze 2015, o 13:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
Mała uwaga: jeśli chcesz rozwiązywać nierówność, to raczej potrzebujesz równoważności, a nie implikacji (chyba że chciałbyś pokazać, iż nierówność jest zawsze nieprawdziwa, wtedy wystarczy ciągiem implikacji wychodzącym od tejże nierówności dojść do jakiejś bzdury - ale to nie w tym zadaniu). I przekształcenia, które wykonywałeś (poza tamtym błędem) akurat są równoważne, ale to trzeba oznaczać tak: \frac{2}{x-1} \ge \frac{1}{x} \Leftrightarrow \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x} itd.

Jak już doszedłeś do tego:
Cytuj:
\frac{x+1}{x(x-1)} \ge 0
, to możesz (oczywiście na samym początku to warto wspomnieć o dziedzinie) pomnożyć stronami przez kwadrat mianownika. Dostaniesz nierówność z wielomianem trzeciego stopnia w postaci iloczynowej i dalej "wężyk".
Można też rozumować trochę inaczej: aby ułamek był dodatni, potrzeba i wystarcza, by licznik i mianownik miały ten sam znak, tj. bierzesz sumę takich dwóch zbiorów:
1) przekrój zbioru, na którym jest x+1>0, ze zbiorem, na którym jest x(x-1)>0
2) przekrój zbioru, na którym jest x+1<0, ze zbiorem, na którym jest x(x-1)<0
No i trzeba pamiętać jeszcze o dziedzinie, plus dorzucić przypadek lewej strony równej zero, a ułamek (dobrze określony) jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik nie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2015, o 14:00 
Użytkownik

Posty: 250
Premislav, dzięki za uwagi ;)

Premislav napisał(a):
...możesz (oczywiście na samym początku to warto wspomnieć o dziedzinie) pomnożyć stronami przez kwadrat mianownika. Dostaniesz nierówność z wielomianem trzeciego stopnia w postaci iloczynowej i dalej "wężyk".


Dziedzina: R \text{poza} \left\{ 0 , 1\right\} - co wynika bezpośrednio z ułamków

Twoja propozycja mnożenie przez kwadrat mianownika ma zapewnić dodatni znak równania tak ?
Co rozumiesz przez "wężyk" ;p ?

Cytuj:
Można też rozumować trochę inaczej: aby ułamek był dodatni, potrzeba i wystarcza, by licznik i mianownik miały ten sam znak, tj. bierzesz sumę takich dwóch zbiorów:


Świetny pomysł ;]

PS: Mam jeszcze takie pytanie dotyczące nierówności modułowej:

\left|  \frac{4x-5}{2x+7} \right|  \le 3

w literaturze znalazłem rozwiąznie które zakłada, że powyższą nieównośc możemy zapisać w postaci nierówności podwójnej:

-3 <  \frac{4x-5}{2x+7} < 3

Skąd takie przekszałcenie do nierówności podwójnej ?

Dzieki.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 cze 2015, o 14:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2759
Mondo napisał(a):

PS: Mam jeszcze takie pytanie dotyczące nierówności modułowej:

\left|  \frac{4x-5}{2x+7} \right|  \le 3

w literaturze znalazłem rozwiąznie które zakłada, że powyższą nieównośc możemy zapisać w postaci nierówności podwójnej:

-3 <  \frac{4x-5}{2x+7} < 3

Skąd takie przekszałcenie do nierówności podwójnej ?

Dzieki.


To wynika z własności wartości bezwzględnej. Jak masz |x|<2 to, to co jest w środku (pod znakiem wartości bezwględnej) może należeć do przedziału (-2,2), dlatego możemy zapisać:
|x|<2  \Leftrightarrow -2<x<2.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 cze 2015, o 14:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Twoja propozycja mnożenie przez kwadrat mianownika ma zapewnić dodatni znak równania tak ?

Dokładniej to ma zapewnić niezmienienie zwrotu nierówności, ale sądzę, że to miałeś na myśli.
Cytuj:
Co rozumiesz przez "wężyk" ;p ?

Masz wielomian w postaci iloczynowej.
Patrzysz, czy współczynnik przy najwyższej potędze (tj. a przy postaci iloczynowej) jest dodatni, czy ujemny. Jak jest ujemny, to dla x większych od największego spośród pierwiastków wielomianu wielomian (ale paskudne powtórzenie) ma wartości ujemne (dla purystów - funkcja wielomianowa, nie wielomian :>), następnie jeśli największy pierwiastek wielomianu ma parzystą krotność, to odbijamy i do następnego (tj. tu: mniejszego) miejsca zerowego dalej jest ujemny, a jeśli ma nieparzystą krotność, to wielomian zmienia znak na przeciwny. I tak dalej, idąc do coraz mniejszych pierwiastków. Taki schemat. Przykład: W(x)=2(x-2)^{3}(x+1)^{2}(x-5)
Współczynnik przy najwyższej potędze będzie większy od zera, więc dla x>5 wartości W(x) są dodatnie, w x=5 mamy pierwiastek pojedynczy, więc dla x\in (2,5) (bo 2 to kolejny - w kolejności malejącej - pierwiastek W(x)) wielomian ma wartości ujemne, w x=2 mamy pierwiastek potrójny, więc wielomian zmienia tam znak, czyli dla x \in (-1,2) przyjmuje on wartości dodatnie, w x=-1 mamy zaś pierwiastek podwójny, czyli "odbijamy" i dla x<-1 (bo mniejszych pierwiastków W(x)już nie ma) wartości wielomianu są dodatnie.
Co do tego zadania z wartością bezwzględną:
\left| \frac{4x-5}{2x+7} \right| \le 3
oznacza, że odległość \frac{4x-5}{2x+7} od zera ma być nie większa od 3. Czyli \frac{4x-5}{2x+7} ma należeć do przedziału... (tak, jak tam napisano).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2015, o 15:09 
Użytkownik

Posty: 250
Wszystko się zgadza, dzięki wielkie za pomoc ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rozwiazanie nierownosci - zadanie 3  Skilled  2
 Rozwiązanie nierówności - zadanie 37  cubbin  5
 Rozwiązanie nierównośći - zadanie 43  Johann  3
 Rozwiązanie nierówności - zadanie 5  Endus  1
 Rozwiązanie nierówności - zadanie 29  ripeez  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl