szukanie zaawansowane
 [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2015, o 13:24 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Torun
Ile jest liczb całkowitoliczbowych rozwiazan rownania x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40spełniajacych warunek 0 \le x _{j} \le 15 j=1,2,3,4

Prosze o sprawdzenie:

R-zbior wszystkich rozwiaz podanego rownania x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40
\left| R\right| - moc tego zbioru

R =  {40+4-1 \choose 4-1} =  {37 \choose 3}

R _{j} gdzie j=1,2,3,4 - zbior rozwiazan x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40 takich, ze x _{j} \ge 16

R _{j} =  {40-16+4-1 \choose 4-1} =  {27 \choose 3}

Obliczanie przekrojow:

\left| R _{j} \cap R _{i}  \right| =  {40-16-16+4-1 \choose 4-1} = {11 \choose 3}
\left| R _{j} \cap R _{i}  \cap R _{k}  \right| =  {40-16-16-16+4-1 \choose 4-1} = \emptyset

\left| R\right| - 4 \cdot \left| R _{j} \right| +  {4 \choose 2} \cdot  \left| R _{j} \cap R _{i}  \right| =  {37 \choose 3} - 4 \cdot  {27 \choose 3} +  {4 \choose 2}  \cdot  {11 \choose 3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2015, o 15:47 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
{37\choose3} - 4\cdot{27\choose3} + {4\choose2}\cdot{11\choose3}={\red{-2940}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2015, o 16:00 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Torun
Błąd popełnilem obliczeniowy powinno byc:

{43\choose3} - 4\cdot{27\choose3} + {4\choose2}\cdot{11\choose3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2015, o 16:06 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
{43\choose3} - 4\cdot{27\choose3} + {4\choose2}\cdot{11\choose3}=1631

Zaraz sprawdzę, czy jest dobrze.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 cze 2015, o 16:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4416
Lokalizacja: Łódź
robertos18 napisał(a):
R =  {40+4-1 \choose 4-1} =  {37 \choose 3}



Błąd rachunkowy.
Poza tym dlaczego rozważasz tylko liczby 16? A jak będzie np. 0+0+19+21?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2015, o 16:12 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Torun
rozwazam te ktore nie spelniania warunkow zadania , tak mnie uczyli ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2015, o 17:06 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Zgadza się! Ma być 1631.

Sprawdziłem pisząc program w Pascalu, który sprawdził wszystkie 16^4 całkowitoliczbowe rozwiązania i policzył spełniające warunki zadania.

Żeby inni mieli pożytek z Twoich dokonań, wskazane byłoby abyś jeszcze raz przedstawił wraz z komentarzem swoje wyprowadzenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2015, o 18:21 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Torun
Ile jest liczb całkowitoliczbowych rozwiazan rownania x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40 spełniajacych warunek 0 \le x _{j} \le 15 j = 1,2,3,4

Moc zbioru R wszystkich całkowitoliczbowych rozwiązań podanego równania x_1+x_2+x_3+x_4=40 wynika z Zasady Bijekcji przedstawionej w J., Grytczuk: Matematyka Dyskretna, rozdział 1.2, (Problem 12: kolorowanie kul) i wynosi:

|R|={\mbox{wynik równania + ilość niewiadomych – 1} \choose \mbox{ilość niewiadomych – 1}}

Będziemy liczyć przez dopełnienie zbioru.
\left| R\right|-zbior wszystkich rozwiaz podanego rownania x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40

\left| R\right| - moc tego zbioru
Wzór ogólny: \left| R\right| =  {wynik\ rownania+ilosc \ niewiadomych -1 \choose ilosc \ niewiadomych-1}

W tym przykładzie będzie to więc: R = {40+4-1 \choose 4-1} = {43 \choose 3}

R _{j}, gdzie j=1,2,3,4– zbiór rozwiązań x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4} = 40 takich, że x _{j} \ge 16(ozn.(*))(inaczej mówiąc – zbiór rozwiązań „niesprzyjających” – tych, które nie spełniają warunków zadania)

Wzór ogólny:R _{j}={wynik \ rownania -  liczba(*)+ilosc \ niewiadomych -1 \choose ilosc \   niewiadomych-1}
R _{j} = {40-16+4-1 \choose 4-1} = {27 \choose 3}
Kolejnym krokiem jest policzenie przekrojów dwuelementowych, trzyelementowych itd. (o ile mają sens).
\left| R _{j} \cap R _{i} \right| ={wynik \ rownania -  liczba(*) _{j}  -liczba(*) _{i}  +ilosc  \ niewiadomych -1 \choose ilosc \ niewiadomych-1}

\left| R _{j} \cap R _{i} \right| = {40-16-16+4-1 \choose 4-1} = {11 \choose 3}

\left| R _{j} \cap R _{i} \cap R _{k} \right| = {40-16-16-16+4-1 \choose 4-1} = \emptyset, ponieważ na górze otrzymaliśmy liczbę ujemną

Teraz pozostaje nam zliczyć otrzymane wyniki.
\left| R\right| - 4 \cdot \left| R _{j} \right| + {4 \choose 2} \cdot \left| R _{j} \cap R _{i} \right| = {43 \choose 3} - 4 \cdot {27 \choose 3} + {4 \choose 2} \cdot {11 \choose 3}= 1631

* {4 \choose 2} przekroje dwuelementowe ze zbioru czteroelementowego

Jak są pomyłki prosze o poprawe..
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 cze 2015, o 18:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4416
Lokalizacja: Łódź
Dalej nie wiem, dlaczego od wszystkich {43 \choose 3} rozwiązań ( 16 ^{4} \ ? ) odejmujecie tylko te, w których występuje jedna lub dwie liczby 16. Napisałam to już wcześniej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2015, o 20:49 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Komentarz nie jest wystarczający!
Diabeł jak zwykle jest ukryty w szczegółach.
Ja np. nie wiem dlaczego {\mbox{wynik równania + ilość niewiadomych – 1} \choose \mbox{ilość  niewiadomych – 1}} jest równe liczbie rozwiązań całkowitoliczbowych bez ograniczeń.
Kropka+, która (jak się kiedyś przekonałem) jest „oblatana”, też nie wszystko rozumie.

@Kropka+
Rozwiązania mają spełniać warunek: 0\le x_j\le15;\ j\in\{1;2;3;4} .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 cze 2015, o 23:30 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Torun
to moze pan napisze dlaczego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 cze 2015, o 00:07 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Pisałem, że nie wiem dlaczego, a chciałby wiedzieć (czytaj: też się chcę czegoś nauczyć).
Próbowałem coś wymyślić dla trzech zmiennych (x+y+z=s jest równaniem płaszczyzny i mogę ją sobie wyobrazić), ale jeszcze bez efektów – byłem rozpraszany.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 cze 2015, o 00:54 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Torun
Bo jest taki wzor na liczbe wszystkich rozwiazan rownania
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 cze 2015, o 01:26 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Jeśli możesz, to odszukaj te informacje i uzupełnij komentarz, albo chociaż podaj link do jakiegoś wyjaśnienia.
Uzupełnienie komentarz będzie mile widziane.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 cze 2015, o 01:31 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Torun
http://www.muzg.uz.zgora.pl/pliki/md.pdf rozdział 1.2
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile jest dzielnikow liczby  Anonymous  6
 Ile sposobow - wybor trzech liczb, aby suma byla parzysta  Anonymous  2
 ile jest liczb 2cyfr/3cyfr, 5cyfr o pocz 12, bez cyfr 4 i 5?  Anonymous  1
 Układanie liczb o różnych cyfrach podzielnych przez...  birdy1986  4
 Na ile sposobów... (suma 3 liczb rowna 11)  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl