szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lip 2015, o 02:23 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Wrocław
Czy istnieje jakiś "sposób" na zadania typu "uprość wyrażenie / znajdź zwartą postać wzoru" ( i tutaj jakaś suma , np \sum_{k=0}^{n}= k  \cdot  3k ? )

Rozwiązanie tego przykładu znam, ale po przerobieniu kilku zadań nadal się gubię − a konkretnie nie wiem jak zacząć. Raz różniczkujemy wzór, czasem nawet podwójnie, innym razem używamy szczegółowych wzorów na sumę, których wcześniej nie widziałem, i tak dalej.

Czy istnieje schemat działania w przypadku takich zadań, czy pozostaje mi jedynie różniczkowanie na ślepo, albo podstawianie kolejnych wzorów, bo może akurat ten pasuje?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lip 2015, o 02:45 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Znowu czegoś nie rozumiem.
Ta suma po lewej stronie znaku równości to jest suma czego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lip 2015, o 02:53 
Użytkownik

Posty: 28
Lokalizacja: Wrocław
Przepraszam, to błąd. Pomyliłem się w zapisie LaTeX'a , chodzi o \sum_{k=1}^{n} k \cdot 3 ^{k}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 lip 2015, o 11:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12425
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
\sum_{k=1}^{n}kx^{k}=x \sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=x \sum_{k=1}^{n} (x^{k})'= x \cdot \frac{d}{dx}\left(  \sum_{k=0}^{n}x^{k} \right)
no i trzeba by policzyć \sum_{k=0}^{n}x^{k} \right ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, a potem zróżniczkować otrzymaną zwartą postać, wstawić x=3 i tyle.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lip 2015, o 05:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Rachunek różnicowy sumowanie przez części

\Delta a^{x}= a^{x+1}-a^{x}=a^{x}\left( a-1\right)\\
 \sum{a^{x}}=\frac{a^x}{a-1} \\

\sum_{k=0}^{n}= k  \cdot  3^k ?\\
 \sum{x3^{x}}=x \cdot \frac{3^x}{2}- \sum{1 \cdot  \frac{3^{x+1}}{2} } \\
 \sum{x3^{x}}=x \cdot \frac{3^x}{2}-\frac{3}{2} \sum{3^{x}}\\
\sum{x3^{x}}=x \cdot \frac{3^x}{2}-\frac{3}{2}  \cdot  \frac{3^{x}}{2} \\
\sum{x3^{x}}= \frac{1}{4}\left( 2x-3\right)3^{x}  \\
  \sum_{0}^{n+1}x3^{x}= \frac{1}{4}\left( 2n-1\right)3^{n+1}-\left( - \frac{3}{4} \right)  \\
  \sum_{k=0}^{n}= k  \cdot  3^k = \frac{3}{4}\left( 2n-1\right)3^{n}+ \frac{3}{4}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja tworząca i postać zwarta ciągu  pg2464  1
 Dowód wzoru - zadanie 7  mundek2512  2
 zadanko ze wzoru newtona  sidor111  2
 Zwarta postać sumy - zadanie 3  artmat  5
 Rekursja/Rekurencja Wyznaczenie wzoru  eth3r  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl