szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2015, o 17:09 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Radom ;)
Hej,
bardzo prosiłbym o sprawdzeniem, czy mój tok rozumowania jest poprawny, jeśli nie - proszę o jakąś wskazówkę ;)
Udowodnić, że jeśli {n \choose k}=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\ldots p_{k}^{a_{k}} jest kanonicznym rozkładem na czynniki pierwsze, to dla każdego 1 \le i \le k zachodzi nierówność p_{i}^{a_{i}} \le n.
Więc: wiadomo z twierdzenia Legendre'a, że w rozkładzie {n \choose k} na czynniki pierwsze dana liczba p występuje dokładnie \sum_{k=1}^{\infty}\bigg(\left \lfloor{\frac{n}{p^k}}\right \rfloor - \left \lfloor{\frac{k}{p^k}}\right \rfloor -\left \lfloor{\frac{n-k}{p^k}}\right \rfloor\bigg) razy. Zakładam, że istnieje takie p, że p_{i}^{a_{i}}>n. Zauważam, że wówczas \left \lfloor{\frac{n}{p^k}}\right \rfloor=0, \left \lfloor{\frac{k}{p^k}}\right \rfloor =0 i \left \lfloor{\frac{n-k}{p^k}}\right \rfloor=0, w tym przypadku \sum_{k=1}^{\infty}\bigg(\left \lfloor{\frac{n}{p^k}}\right \rfloor - \left \lfloor{\frac{k}{p^k}}\right \rfloor -\left \lfloor{\frac{n-k}{p^k}}\right \rfloor\bigg)=0, zatem p nie występuje w rozkładzie {n \choose k} na czynniki pierwsze, co jest sprzeczne z założeniem i dowodzi poprawności twierdzenia. To tyle ;) Byłbym wdzięczny za jakieś komentarze.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 lip 2015, o 22:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Jeżeli a_i jest duże, a potencjalnie może być, to składniki sumy zerują się dopiero od pewnego momentu - nie możesz chyba wnioskować, że wszystkie znikają.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2015, o 11:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1229
Bardzo skomplikowane rozwiązanie, z atomówki do mrówki, jak na mój gust. Niech n =  \prod_{i=1}^{k} p_i^{a_i}. Wtedy dla każdego i zachodzi (z definicji) p_i > 1. Ponieważ dla każdego i zachodzi również a_i > 0, to mamy, że p_i^{a_i} > 1, więc jeśli dla jakiegoś i zachodziłoby p_i^{a_i} > n, to wtedy mamy, że 1 > \prod_{j=1, j\neq i}^{k} p_j^{a_j} a to jest sprzeczność.
Nie wiem tylko, czy dobrze zrozumiałem treść zadania...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lip 2015, o 11:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
jutrvy, ale on chce rozkładać na czynniki pierwsze dwumian, a porównywać potęgi p_i^{a_i} z n, czyli samym górnym indeksem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lip 2015, o 05:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1229
O kurde, wybaczcie za spam :(
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile jest dzielnikow liczby  Anonymous  6
 ile jest liczb 2cyfr/3cyfr, 5cyfr o pocz 12, bez cyfr 4 i 5?  Anonymous  1
 permutacje/ile jest sposobow ustawien/ -prosba o sprawdzenie  alamakota  3
 ile jest liczb trzycyfrowych, mniejszych od 555  Anonymous  1
 Dany jest zbiór A={a,b,c,d}  Nanu  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl