szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 01:01 
Użytkownik

Posty: 250
Witam,

zastanawiam się na równaniami opisującymi iloczyn wektorowy:

iloczyn wektorów A i B daje wektor C wedle wzoru:

C = a \cdot b \cdot sin(\alpha)

rozumiem, że a i b to długości wektorów, a sin(\alpha) jest konsekwencją 3 boku trójkąt prostokątnego którego poszukujemy i jest on dany równaniem sin(\alpha) =  \frac{c}{b}   \rightarrow c = bsin(\alpha) ?

Następna kwestia to dowód na ogólny wzór (znaleziony tutaj http://people.math.sc.edu/filaseta/cour ... ion143.pdf):

\left| A \text{x} B\right|^{2}  = \left| A\right|^{2}  \left| B\right|^{2} - (AB)^{2}

Po co właściwie podnoszenie do kwadratu i skąd ta różnica w powyższym wyrażeniu ?

Generalnie chodzi mi tutaj o wyprowadzenie tego wzoru:

a \times b = [a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}]

Wzorem wyjściowym była suma iloczynów poszczególnych składowych, wzór powyższy jest wynikiem tych iloczynów, skąd wzięly się tam różnice ?

Dzięki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 01:28 
Użytkownik

Posty: 3602
Lokalizacja: Kraków PL
To:
    |\vec{c}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\alpha)
i to
    |\vec{a}\times\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2
są zależnościami skalarnymi.

Zależność wektorowa jest od strony 5.

Czytelniejszy jest zapis:

    \vec{a}\times\vec{b}=\det\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\
a_x&a_y&a_z \\
b_x&b_y&b_z
\end{vmatrix}

gdzie: \vec{i}, \vec{j} i \vec{k} to wektory jednostkowe (wersory) osi x, y i z.

Szczegóły masz tu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 18:32 
Użytkownik

Posty: 250
SlotaWoj napisał(a):
Czytelniejszy jest zapis:

    \vec{a}\times\vec{b}=\det\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\
a_x&a_y&a_z \\
b_x&b_y&b_z
\end{vmatrix}


No tak ale ten wyznacznik powinien być chyba jeszcze pomnożony przez sinus kata pomiędzy wektorami prawda ?
Czy inaczej mówiąc iloczyn wektorowy A \times B jest równy długości wektora A razy długość wektora B razy sinus kąta pomiędzy nimi ?

O tyle o ile w iloczynie skalarnym mnożenie przez kosinus kąta jest dla mnie zrozumiałem, tak w iloczynie wektorowym kompletnie nie mogę dojść dlaczego mnożymy A x B przez sinus kąta pomiędzy wektorami ?

Dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 19:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1498
Lokalizacja: Polska
Wydaje mi się że Twój problem sam sztucznie stworzyłeś.
\vec{a}=[a_x,a_y,a_z]
\vec{b}=[b_x,b_y,b_z]
W iloczynie skalarnym mnożymy wektory i otrzymujemy skalar dzięki czemu czy zrobimy tak :
\vec{a} \cdot \vec{b}=a_x \cdot b_x+a_y \cdot b_y+a_z \cdot b_z
Czy tak :
\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\phi)

to za każdym razem otrzymamy skalar ,tę samą wartość.

Natomiast w iloczynie wektorowym otrzymujemy wektor ,który ma kierunek ,zwrot i wartość (skalar).Więc zapis SlotaWoj tworzy nowy wektor o podanych współrzędnych :
\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\ a_x&a_y&a_z \\ b_x&b_y&b_z \end{vmatrix}

A zapis |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\phi) tworzy wartość tego wektora ,czyli skalar.Więc nie jest to do końca równoważne bo jak policzysz tym pierwszym sposobem to otrzymasz wszystkie info o wektorze i z tego będzie mógł policzyć jego wartość ,a jak drugim to otrzymasz tylko jego wartość i nie odtworzysz z niego jego współrzędnych (bo istniej nieskończenie wiele wektorów o tej samej długości).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2015, o 09:25 
Użytkownik

Posty: 250
Igor V, zgadza się mój błąd. Wyznacznik macierzy daje nam współrzędne wektora, a iloczyn wartości bezwzględnych wektorów razy sinus kąta pomiędzy nimi daje nam moduł/długość nowego wektora.

Pozostaje tylko jedna kwestia, dlaczego mnożymy przez sinus kąta pomiędzy wektorami ? Jeśli założymy, że mamy otrzymać pole równoległoboku rozpiętego na tych wektorach to jest to uzasadnione. Iloczyn skalarny wektorów wymnoży nam wartości podstaw tego równoległoboku, więc do pola potrzebujemy już tylko wymnożyć razy wysokość, a ta to faktycznie sinus kąta. Ale jakoś nie mogę tego poczuć, dlaczego iloczyn wektorowy jest polem równoległoboku ?

Dzięki ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2015, o 12:16 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2717
Lokalizacja: Warszawa
Mondo napisał(a):
Ale jakoś nie mogę tego poczuć, dlaczego iloczyn wektorowy jest polem równoległoboku


Bo tak sobie to po prostu zdefiniowaliśmy. Tu nie ma co czuć :wink: Definicja to definicja, okazało się, że wielkość ta jest bardzo użyteczna zatem sobie ją wyróżniliśmy, nazwaliśmy i już.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Iloczyn wektorowy - zadanie 19  wiedzma  0
 iloczyn wektorowy - zadanie 6  wojtek6214  3
 iloczyn wektorowy - zadanie 16  kajusia12312  5
 Iloczyn wektorowy - zadanie 5  kylek2089  1
 Iloczyn wektorowy - zadanie 15  lukasz9292  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl