szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 08:58 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
Najpierw uzupełnienie teoretyczne:
Twierdzenie: Różnica między sumą 3 stosunków Cevy i ich iloczynem jest stała, równa 2:
(AA^{ \prime }K)+(BB^{ \prime } K) + (CC^{ \prime } K) - (CC^{ \prime } K) (BB^{ \prime  } K) (AA^{ \prime }K) = 2

Dowód:
(ABC^{ \prime } ) = \lambda _{c} \\ (BCA^{ \prime }) = \lambda_{a} \\ (CAB^ {\prime} ) =\lambda _{b} \\ (AA^{ \prime }K) = (ABC^{ \prime}) + (ACB^{ \prime}) = \lambda _{c} + \frac{1}{ \lambda _{b}} \\ (BB^{ \prime }K) = (BCA^{ \prime}) + (BAC^{ \prime}) = \lambda _{a} + \frac{1}{ \lambda _{c}} \\ (CC^{ \prime }K) = (CAB^{ \prime}) + (CBA^{ \prime}) = \lambda _{b} + \frac{1}{ \lambda _{a}} \\  T = (AA^ { \prime }K) + (BB^{ \prime} K) + (CC^{ \prime } K) = \lambda _{a} + \lambda _{b} + \lambda _{c} + \frac{1}{ \lambda _{a}} +\frac{1}{ \lambda _{b}} + \frac{1}{ \lambda _{c}} \\ \Pi = \lambda _{a} \lambda _{b} \lambda _{c} + \lambda _{b} + \lambda _{a} + \lambda _{c} + \frac{1}{ \lambda _{a} \lambda _{b} \lambda _{c} } \\ T - \Pi = 2

Z dowodu wynika, że \frac{1}{ \lambda _{a}} + \frac{1}{ \lambda _{b}} + \frac{1}{ \lambda _ {c} } = 0 Ale dlaczego równość ta jest spełniona?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 09:43 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Nie wiem czy dobrze rozumiem, gdybym domyślał się źle poprawiaj mnie proszę.
Jak mniemam zapis: \left(AA'K\right) rozumiesz jako \frac{AK}{KA'} gdzie K jest punktem przecięcia naszych prostych AA',BB',CC'.
Cytuj:
(AA^{ \prime }K) = (ABC^{ \prime}) + (ACB^{ \prime}) = \lambda _{c} + \frac{1}{ \lambda _{b}} \\ (BB^{ \prime }K) = (BCA^{ \prime}) + (BAC^{ \prime}) = \lambda _{a} + \frac{1}{ \lambda _{c}} \\ (CC^{ \prime }K) = (CAB^{ \prime}) + (CBA^{ \prime}) = \lambda _{b} + \frac{1}{ \lambda _{a}}

Te trzy równości to jak sądzę wynik zastosowania twierdzenia Van Aubela.
Dalej mamy policzone T i \Pi, miejmy nadzieję że poprawnie (nie sprawdzałem tych rachunków).
A następnie z kapelusza wniosek T-\Pi=2.
A teraz pytanie:
Cytuj:
Z dowodu wynika, że \frac{1}{ \lambda _{a}} + \frac{1}{ \lambda _{b}} + \frac{1}{ \lambda _ {c} } = 0 Ale dlaczego równość ta jest spełniona?

Ja nie mam pojęcia, w jaki sposób Ty do tego doszedłeś, przecież to głupstwo jakieś. Nie wiem w jaki sposób wynika to z dowodu...
Sądząc po moim sposobie rozumienia zapisu \left(AA'K\right) i podobnych obstawiam, że \lambda_{a}, \lambda_{b},\lambda_{c}>0, to jak suma trzech dodatnich ułamków może być zerem. No coś tu śmierdzi na kilometr...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 09:54 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
bakala12 napisał(a):
Nie wiem czy dobrze rozumiem, gdybym domyślał się źle poprawiaj mnie proszę.
Jak mniemam zapis: \left(AA'K\right) rozumiesz jako \frac{AK}{KA'} gdzie K jest punktem przecięcia naszych prostych AA',BB',CC'.
Cytuj:
(AA^{ \prime }K) = (ABC^{ \prime}) + (ACB^{ \prime}) = \lambda _{c} + \frac{1}{ \lambda _{b}} \\ (BB^{ \prime }K) = (BCA^{ \prime}) + (BAC^{ \prime}) = \lambda _{a} + \frac{1}{ \lambda _{c}} \\ (CC^{ \prime }K) = (CAB^{ \prime}) + (CBA^{ \prime}) = \lambda _{b} + \frac{1}{ \lambda _{a}}

Te trzy równości to jak sądzę wynik zastosowania twierdzenia Van Aubela.
Dalej mamy policzone T i \Pi, miejmy nadzieję że poprawnie (nie sprawdzałem tych rachunków).
A następnie z kapelusza wniosek T-\Pi=2.
A teraz pytanie:
Cytuj:
Z dowodu wynika, że \frac{1}{ \lambda _{a}} + \frac{1}{ \lambda _{b}} + \frac{1}{ \lambda _ {c} } = 0 Ale dlaczego równość ta jest spełniona?

Ja nie mam pojęcia, w jaki sposób Ty do tego doszedłeś, przecież to głupstwo jakieś. Nie wiem w jaki sposób wynika to z dowodu...
Sądząc po moim sposobie rozumienia zapisu \left(AA'K\right) i podobnych obstawiam, że \lambda_{a}, \lambda_{b},\lambda_{c}>0, to jak suma trzech dodatnich ułamków może być zerem. No coś tu śmierdzi na kilometr...

Wniosek nie jest z kapelusza. Po prostu \lambda _{a} \lambda _{b}  \lambda _{c} = \frac{1}{ \lambda _{a} \lambda _{b}  \lambda _{c} } = -1 na mocy twierdzenia Cevy. I wówczas przy odejmowaniu \Pi od T ma wyjść 2, a przynajmniej tak wynika z twierdzenia.
Ponadto twierdzenie i dowód jest z "Geometrii trójkąta" Zetela.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 10:08 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Zdefiniuj oznaczenie \left(ABC\right), wtedy możemy rozmawiać. Domyślam się już mniej więcej o co chodzi, bo czytałem o czymś podobnym w jednej z książek, ale fachową definicją nie pogardzę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 10:37 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
bakala12 napisał(a):
Zdefiniuj oznaczenie \left(ABC\right), wtedy możemy rozmawiać. Domyślam się już mniej więcej o co chodzi, bo czytałem o czymś podobnym w jednej z książek, ale fachową definicją nie pogardzę.

Może przytoczę definicję z twierdzeniem Cevy z tej książki:
'Niech A^{ \prime }, B^{ \prime }, C^{ \prime } będą trzema punktami leżącymi odpowiednio na bokach BC, CA, AB trójkąta ABC Na to, aby proste AA^{ \prime }, BB^{ \prime }, CC^{ \prime } przecinaly się w jednym punkcie wystarcza, by \frac{AC^{ \prime }}{ C^ { \prime } B }  \cdot \frac { BA^{ \prime }}{ A^{ \prime }C}  \cdot  \frac{CB^{ \prime }}{B ^{ \prime} A } = 1
Równość występującą w twierdzeniu Cevy można napisać w postaci
\frac{AB^ { \prime }}{CB^ { \prime }}  \cdot \frac{CA^{ \prime }}{BA^{ \prime }} \cdot \frac{BC^{ \prime}}{ AC^{ \prime }}

lub (ACB^ { \prime })(CBA^{ \prime } )(BAC^ { \prime}) = -1 lub (ABC^{ \prime })(BCA^ { \prime })(CAB^{ \prime }) = -1.'
Zatem dla przypadku ogólnego ABC = \frac{AC}{BC}.
Jeszcze piszą, że dla prostych Cevy przecinajacych się poza trójkątem stosunek Cevy to (AA^{ \prime }K), gdzie A - wierzchołek trójkąta, A^{ \prime } - punkt przecięcia prostej Cevy poprowadzonej z wierzchołka A z bokiem BC, K - wspólny punkt przecięcia wszystkich trzech prostych Cevy.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Twierdzenie cosinusów - zadanie 15  Kluskov  1
 Cechy podobieństwa trójkątów, twierdzenie Talesa  maise  2
 twierdzenie sinusów?  nastirasti  2
 Twierdzenie Pitagorasa-trójkąt prostokątny.  Pati_94  1
 twierdzenie sinusów - zadanie 17  Warlok20  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl