szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 12:36 
Użytkownik

Posty: 77
Lokalizacja: Polska
k \in N  \wedge  n \in N  \wedge  k<n

{n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}

\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}+ \frac{n!}{(k+1)!\cdot(n-k-1)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}/:(n-k-1)!

\frac{n!\cdot(n-k-1)!}{k!\cdot(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!}=\frac{(n+1)!\cdot(n-k-1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}

\frac{n!}{k!\cdot(n-k)}+\frac{n!}{(k+1)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)}/\cdot(k+1)!

\frac{n!\cdot(k+1)!}{k!\cdot(n-k)}+\frac{n!}{1}=\frac{(n+1)!}{(n-k)}

\frac{n!\cdot(k+1)}{(n-k)}+\frac{n!}{1}=\frac{(n+1)!}{(n-k)}/\cdot(n-k)

n!\cdot(k+1)+n!\cdot(n-k)=(n+1)!

k+1+n-k=n+1

k=k
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 12:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12431
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Przekształcenia są poprawne, ale warto dopisać, iż są one równoważne (bo samo to, że wychodząc od tezy, doszedłeś do czegoś prawdziwego, nie wystarcza za dowód tezy).

-- 8 lip 2015, o 11:43 --

Istnieje też prosty dowód kombinatoryczny, opierający się na tym, ze przy założeniach jak u Ciebie {n \choose k} to liczba k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 12:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Premislav, jak wygląda ten dowód algebraiczny? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2015, o 13:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12431
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Poszukujaca, miałaś oczywiście na myśli kombinatoryczny. Z grubsza o tak:
przy założeniach jak w pierwszym poście z tego wątku {n+1 \choose k+1} to liczba k+1-elementowych podzbiorów zbioru n+1-elementowego. Ustalmy dowolny element zbioru n+1-elementowego i zauważmy, że możemy wybrać k+1 spośród n+1elementów albo wybierając wśród nich ten jeden konkretny przez nas ustalony - a to się odbywa na {1 \choose 1}{n\choose k} sposobów, albo pomijając ten ustalony element - tj. wybieramy k+1 spośród n pozostałych.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 lip 2015, o 10:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Nie do końca rozumiem..

Jeśli mamy n+1 elementów zbioru i jeden z nich ustalimy jako element podzbioru k+1 elementowego, to tworząc podzbiory wybieramy już tylko k elementów spośród n elementów czyli mamy c_{n+1}^{1} \cdot c_{n}^{k} = {n+1 \choose 1}  \cdot {n \choose k}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 lip 2015, o 11:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
To działa inaczej. Masz grupę n = 11 osób, z czego dziesięcioro to dzieci, a jedna to nauczycielka. Teraz wybierając k = 3 osoby (podgrupę) możesz to zrobić wybierając nauczycielkę i k - 1 = 2 dzieci lub k = 3 dzieci (bez nauczycielki); ewentualnie wybrać k = 3 osoby nie patrząc, kim one są.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 lip 2015, o 11:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
Medea 2, dziękuję. Wspaniały przykład. Teraz już rozumiem jak działa ten wzór.

Miżna po prostu jeden z elementów zbioru wyróżnić i w ten sposób rozbić na dwa przypadki, których możliwości się sumują.

Zaciekawiło mnie to. Co się stanie, gdy wyróżnimy dwa elementy w zbiorze n+2 elementowym? Czy prawdziwy wtedy będzie wzór:
{n \choose k}+ {2 \choose 1} \cdot {n \choose k+1} + {n \choose k+2}={n+2 \choose k+2}
Dochodzi tu przypadek, kiedy wybieramy jeden z elementów wyróżnionych i resztę niewyróżnionych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2015, o 12:50 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
@Premislav
Premislaw napisał(a):
Przekształcenia są poprawne, ale warto dopisać, iż są one równoważne (bo samo to, że wychodząc od tezy, doszedłeś do czegoś prawdziwego, nie wystarcza za dowód tezy).
Jeżeli z przekształceń wynika, że obie strony równania są równoważne, to czy trzeba czegoś więcej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2015, o 13:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12431
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Może uwaga o przekształceniach równoważnych to w przypadku przekształcania równości nadmiar pedantyzmu (właściwie jedyne, co mogłoby zaszkodzić równoważności przekształceń przy równaniu to chyba pomnożenie przez zero). Jakoś się przyzwyczaiłem do równań modularnych i nierówności, gdzie mogą się pojawić przejścia będące implikacjami, a nie równoważnościami i wtedy wychodzenie od tezy może prowadzić do błędu.
Racja, nie będę już pisać, bo same głupoty wychodzą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2015, o 14:01 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
@Premislav
  1. Dziękuję za odpowiedź.
  2. Nie potrzebnie się tak stresujesz. Po prostu wykazałeś się ostrożnością, a lepiej jest być ostrożnym, niż nieostrożnym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2015, o 14:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6326
Poszukujaca napisał(a):
Czy prawdziwy wtedy będzie wzór:
{n \choose k}+ {2 \choose 1} \cdot {n \choose k+1} + {n \choose k+2}={n+2 \choose k+2}
Dochodzi tu przypadek, kiedy wybieramy jeden z elementów wyróżnionych i resztę niewyróżnionych.


Prawdziwość tego, jak i napisanego w temacie, wzoru można błyskawicznie zweryfikować na trójkącie Pascala.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 lip 2015, o 17:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2784
kerajs, rzeczywiście. Dziękuję.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Własność symbolu Newtona - zadanie 2  Nexus420  4
 Symbol Newtona, Silnia  Piotrek172  2
 Kilka problemów z zakresu dwumianu Newtona  Gallu  1
 Dwumian Newtona - zadanie 42  krisu  3
 Nierówność z symbolem newtona - zadanie 6  Zbyszek92  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl