szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lip 2015, o 18:36 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Wrocław
Mam takie niesympatyczne zadanie: wykazać, że płaszczyzny styczne do powierzchni \sqrt{x} + \sqrt{y} +\sqrt{z}=\sqrt{a}, gdzie a jest dowolną dodatnią stałą rzeczywistą, przecinają osie kartezjańskiego układu współpodrzędnych w punktach, których suma odległości od początku układu równa się a.

Zaczęłam od dłubania się ze wzoru \left\langle x - x_{0}, (gradf)(x_{0}) \right\rangle, wyszło mi \frac{x-x_{0}}{2 \sqrt{x_{0}}} + \frac{y-y_{0}}{2 \sqrt{y_{0}}} + \frac{z-z_{0}}{2 \sqrt{z_{0}}} = 0, wiem też, że przecięcia to są punkty o najwyżej jednej niezerowej współrzędnej. I an tym moja wiedza i umiejętności się kończą. Kto pomoże, kto oświeci?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lip 2015, o 19:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6642
Mając równanie płaszczyzny wyliczasz współrzędne punktów (przyjmę że są to I, J, K) przecięcia z osiami współrzędnych.

Punkt I (na osi OX) :
Wiadomo że y=z=0 więc:
\frac{x-x_{0}}{2 \sqrt{x_{0}}} + \frac{0-y_{0}}{2 \sqrt{y_{0}}} + \frac{0-z_{0}}{2 \sqrt{z_{0}}} = 0
\frac{x-x_{0}}{2 \sqrt{x_{0}}} = \frac{y_{0}}{2 \sqrt{y_{0}}} + \frac{z_{0}}{2 \sqrt{z_{0}}}
\frac{x}{ \sqrt{x_{0}}}- \sqrt{x_{0}}  = \sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}
x=\sqrt{x_{0}} \left( \sqrt{x_{0}}  + \sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}\right)
I=\left( \sqrt{x_{0}} \left( \sqrt{x_{0}}  + \sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}\right) \ ,0, \ 0\right)=\left( \sqrt{x_{0}} \sqrt{a}   \ ,0, \ 0\right)

Analogicznie wyznaczam
J=\left( 0,\ \sqrt{y_{0}} \sqrt{a}, \ 0\right)
K=\left( 0 , \ 0,\ \sqrt{z_{0}} \sqrt{a}\right)

Suma ich odległości od początku ukladu:
s=\left| IO\right| +\left| JO\right| +\left| KO\right|=\sqrt{x_{0}} \sqrt{a}+\sqrt{y_{0}} \sqrt{a}+\sqrt{z_{0}} \sqrt{a} =\left( \sqrt{x_{0}} +\sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}\right)  \sqrt{a} =\\= \sqrt{a}  \sqrt{a} =a
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obrót płaszczyzny  KEK  0
 Równanie ogólne płaszczyzny 3  kammil9  1
 Proste styczne do okrędku  marsoft  1
 Krzywa leżąca na powierzchni sfery  noun  5
 Równanie płaszczyzny - zadanie 117  Stojak  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl