szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2015, o 13:50 
Użytkownik

Posty: 5413
Lokalizacja: Kraków
Ile to jest \inf_{0 <a \leq b \leq c }  \frac{(a+3b)(b+4c)(c+2a)}{abc} = ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2015, o 17:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17594
Lokalizacja: Cieszyn
Biorąc a=b=c mamy 60 i to jest nasze przypuszczenie. O ile dobrze przeliczyłem, wystarczy do licznika zastosować nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną i skorzystać z własności a,b,c.

Nie będę mówił, jak zastosowałem wspomnianą nierówność. Na pewno nie tak jak pokazywałby pierwszy ogląd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2015, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 12583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pudło... dla a=1,\ b\approx 1.1815,\ c=1/b mamy \approx 59.07
http://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+%281%2B3x%29%28x%2B4%2Fx%29%281%2Fx%2B2%29+for+x%3E0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2015, o 22:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9876
Lokalizacja: Wrocław
Też użyłem AM-GM (rozważyłem to jako iloczyn trzech czynników postaci 1+ \frac{3b}{a} etc. i do każdego czynnika szacowanie z dołu) i wyszło mi ograniczenie dolne przez 16\sqrt{3}, ale jakoś nie mogłem się doliczyć, gdzie jest przyjmowana równość. Więc to może być blefik.

A tak w ogóle to lubię naleśniki z serem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2015, o 22:42 
Użytkownik

Posty: 12583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Szacowanie przez AM-GM z dołu mało daje, bo równośc zachodzi w tym szacowaniu przy równych skłądnikach. Tutaj równość cięzko uzyskać
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2015, o 22:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17594
Lokalizacja: Cieszyn
a4karo napisał(a):


Ale chyba tu nie masz a\le b\le c.

Zastosowałem nierówność tak: a+3b\ge 4\sqrt[4]{ab^3} itp.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2015, o 22:48 
Użytkownik

Posty: 12583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Fakt. A dla a<1, b=1, c=1/a minimum jest 60 dla a=b=c=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2015, o 22:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17594
Lokalizacja: Cieszyn
Powyżej wyjaśniłem jak zrobiłem zadanie. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2015, o 22:50 
Moderator

Posty: 1869
Lokalizacja: Trzebiatów
Rozwiazanie Pana szw1710, jest poprawne. Na koncu wystarczy zauwazyc ze rozwiniecie poteg przy mianowniku 120 jest dosc specyficzne i szacowac z nierownosci dla a,b,c
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2015, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 12583
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cytuj:
Zastosowałem nierówność tak: a+3b\le 4\sqrt[4]{ab^3} itp.


W tę stronę :oops:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2015, o 23:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17594
Lokalizacja: Cieszyn
Już poprawiłem swoje wyjaśnienie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2015, o 21:29 
Korepetytor

Posty: 1828
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
a4karo napisał(a):


Jako ciekawostkę dodam, że przy porzuceniu założenia a \le b \le c możemy zastosować nierównośc Huygensa (lub niektórzy to nazywają nierównością Minkowskiego dla iloczynów lub też uogólnionym Schwarzem):

\frac{(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a)}{abc} = \left(1 + \frac{3b}{a} \right) \left( 1 + \frac{4c}{b} \right) \left( 1 + \frac{2a}{c} \right) \ge \left(1 + \sqrt[3]{\frac{3b}{a} \frac{4c}{b} \frac{2a}{c}}\right)^3 = \left( 1 + 2 \sqrt[3]{3} \right) ^3  \approx 58,61.

Równość jest, gdy te ułamki są równe, co po podstawieniu np a=1 daje nam trójkę:
(a,b,c) = \left( 1, \frac{2}{\sqrt[3]{9}}, \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2015, o 22:42 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17594
Lokalizacja: Cieszyn
Gratuluję wiedzy i wartościowego posta. Drobna literówka: na początku ma być (a+3b), omyłkowo napisałeś, a+3c, ale dalej w porządku. Nie ma to jak obycie z zadaniami, gdzie zdobywa się i wiedzę, i doświadczenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2015, o 01:16 
Korepetytor

Posty: 1828
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Tylko mi się wydaje, czy w Twoim poście jest ukryty lekki sarkazm? Pytam, bo przez internet ciężko to wyczuć, a nie chciałem, by moja wiadomość była odebrana jako "mądrzenie się".

Literówka poprawiona, dziękuję :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2015, o 08:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17594
Lokalizacja: Cieszyn
W żadnym wypadku to nie sarkazm. Prawdziwe uznanie. Nie znałem tej nierówności. A teraz będę mógł na nią spojrzeć również pod kątem własnych badań. Nauczyłem się czegoś od Ciebie i bardzo mnie to cieszy. Spodobały mi się prostota i elegancja rozwiązania w połączeniu z doświadczeniem, którym już dysponujesz. Dobrze że spytałeś bo tego rodzaju odbiór jest ostatnią rzeczą jakiej chciałem. Pewnie że można powstrzymać się od pisania postów rodzaju zamieszczonego przeze mnie ale ponieważ mi się spodobało, chciałem dać temu wyraz. A potrzeba uznania jest jedną z ważniejszych dla człowieka. Przekonanie, że to co robisz, ma wartość.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl