szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 11:41 
Użytkownik

Posty: 5492
Lokalizacja: Kraków
Ile to jest \sup_{0< a_1,...,a_n} \frac{a_1...a_n}{(1+a_1)(a_1+a_2)...(a_{n-1}+a_n)(a_n+2^{n+1})} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 14:07 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
\left( \frac{1}{3}\right)^{n+1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 14:24 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
A mógłbyś, proszę, przedstawić szkic rozwiązania? Liczyłem to w pamięci z Jensena (sprowadziwszy uprzednio to zadanie do znalezienia supremum logarytmu tego) czekając w kolejce w supermarkecie
i nie wyszło mi. :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 14:29 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Żeby powyższa wiadomość nie brzmiała zbyt enigmatycznie, to dodam, że wystarczy zastosować tutaj uogólnioną nierówność Schwarza (lub niektórzy nazywają to Holderem):

(1 + a_1)(a_1 + a_2) \ldots (a_{n-1} + a_n)(a_n + 2^{n+1}) \ge \left( \sqrt[n+1]{a_1 a_2 \ldots a_n} + 2 \sqrt[n+1]{a_1 a_2 \ldots a_n} \right) ^{n+1} = 3^{n+1} a_1 a_2 \ldots a_n

Jeszcze warto nadmienić, że równość zachodzi, kiedy wektory \left[ 1, a_1, a_2, ... , a_{n-1}, a_n \right] oraz \left [ a_1, a_2, \ldots, a_n, 2^{n+1} \right] są liniowo zależne, skąd łatwo odczytać, że supremum jest realizowane przez ciąg geometryczny a_n = c \cdot 2^n dla dodatniej stałej c.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 14:35 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
Mozna tez z nierownosci AM - GM
1 \cdot \frac{a_1...a_n}{(1+a_1)(a_1+a_2)...(a_{n-1}+a_n)(a_n+2^{n+1})} =  \frac{1}{1+a_{1}} \cdot ... \cdot  \frac{a_{n}}{a_{n} + 2^{n+1}}
2^{n+1} \cdot \frac{a_1...a_n}{(1+a_1)(a_1+a_2)...(a_{n-1}+a_n)(a_n+2^{n+1})} =  \frac{a_{1}}{1+a_{1}} \cdot ... \cdot  \frac{2^{n+1}}{a_{n} + 2^{n+1}}
i teraz prawa strone przeksztalcic.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 14:36 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Twoje podejście jest z pewnością dużo bardziej elementarne, ale zauważ, że w ten sposób się dowodzi uogólnionego Schwarza :p
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczanie ilorazu różnych różnie potęgowanych liczb  piotrek1200  3
 Włączanie czynnika, pierwiastek ilorazu  musk_  8
 Potęgowanie iloczynu ilorazu i potęgi  danny`9  2
 wyznaczyć wartość ilorazu  tomi140  8
 POTĘGI działania potęgowanie iloczyny i ilorazu  monis333  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl