szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 18:14 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Zielona Góra
Witam,

Proszę o pomoc w udowodnieniu takiego twierdzenia:

\sum_{j=0}^{k} (-1)^j {k \choose j} {n+j \choose k}= (-1)^k , gdzie k,n\in Z oraz 0<k \le n.

Próbowałem indukcji po k, ale szybko się zaplątałem. Z góry dzięki za pomoc.

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 17 lip 2015, o 19:01 
Użytkownik

Posty: 2349
Lokalizacja: Warszawa
:?: Czy to tobrze zapisałeś? Może chodzi o wyrażenie

\sum_{j=0}^{k} (-1)^{j {k \choose j} {n+j \choose k}}= (-1)^k

:?:
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 19:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
W obecnej postaci jest dobrze. Twoja poprawka jest niewłaściwa, bo suma, którą zaproponowałeś, dla k = 3 i n = 15 ma wartość 4, a nie \pm 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Zielona Góra
@Dilectus - zapisałem zgodnie z intencją :wink:

@Medea 2 - wychodzi na to, że w obecnej postaci jest dobrze, ale dlaczego?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 20:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Nie jestem pewna, czy to pomoże, ale lewa strona ma całkiem oczywistą interpretację kombinatoryczną (z n+j osób wybieramy k, a z tych kolejne j). Pomyślę nad tym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 22:08 
Moderator

Posty: 2043
Lokalizacja: Trzebiatów
Cos wiemy na temat n?
Dla k =1 mamy, ze lewa strona to -n jesli dobrze licze.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 lip 2015, o 22:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Dla k = 1 mamy (-1)^0 {1 \choose 0} {n \choose 1} + (-1)^1 {1 \choose 1} {n+1 \choose 1} = n + (-1) \cdot (n+1) = -1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2015, o 09:20 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Zielona Góra
Dokładnie. O n wiemy tylko tyle ile napisałem.

Generalnie to jest rozwiązanie problemu:
Niech 0<k \le n będą liczbami całkowitymi. Udowodnić, że największy wspólny dzielnik liczb {n \choose k},  {n+1 \choose k},..., {n+k \choose k} wynosi 1.

Jeżeli ta tożsamość, którą podałem jest prawdziwa, to prawdziwość tej tezy jest oczywista.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lip 2015, o 13:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
To można pokazać dużo łatwiej. Skorzystaj z tego, że

{n \choose k}= {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}

i zmniejszaj dolne indeksy Twoich symboli Newtona, aż dojdziesz do jedynki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sie 2015, o 10:26 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Zielona Góra
@Medea 2 Możesz wyjaśnić to bliżej? Czy chodzi Ci o zapis:

{n\choose k} =  {n -1\choose k} +  {n-2\choose k-1} + \ldots+  {n-k\choose 1}\\
{n+1\choose k} =  {n\choose k} +  {n-1\choose k-1} + \lodts +  {n-k + 1\choose 1}
...
{n+k\choose k} =  {n +k -1\choose k} +  {n +k -2\choose k-1} +\ldots+  {n\choose 1}?

W jaki sposób udowodnić, że są względnie pierwsze?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dwumian Newtona - dowód indukcyjny  djszaman  0
 Dwumian Newtona - zadanie 30  Hołek  3
 rozwinięcie wyrażenia (dwumian Newtona)  przemotco  1
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 Zadanie z Dwumianem Newtona - zadanie 2  veS  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl