szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lip 2015, o 18:20 
Użytkownik

Posty: 5411
Lokalizacja: Kraków
Udowodnić, ze jeśli x, y, z >0 i xy+yz+zx=1 to
\frac{27}{4}(x+y)(x+z)(y+z) \geq (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+ \sqrt{z+x})^2 \geq 6\sqrt{3}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 20 lip 2015, o 12:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9866
Lokalizacja: Wrocław
Lewa jest dla mnie za trudna, natomiast chyba mam dowód prawej:
z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną i założenia, że xy+xz+yz=1 mamy, że
\frac{ \sqrt{x+y}+ \sqrt{y+z}  }{2} \ge  \sqrt[4]{(x+y)(y+z)}= \sqrt[4]{y^{2}+1} etc.;
dodając stronami trzy tego typu nierówności, uzyskujemy
\sqrt{x+y}+ \sqrt{x+z}+ \sqrt{y+z} \ge  \sqrt[4]{x^{2}+1} + \sqrt[4]{y^{2}+1} + \sqrt[4]{z^{2}+1}
Tak więc aby udowodnić wyjściową nierówność, wystarczy pokazać, że
\left(  \sqrt[4]{x^{2}+1} + \sqrt[4]{y^{2}+1} + \sqrt[4]{z^{2}+1}\right)^{2} \ge 6 \sqrt{3}
Równoważnie otrzymujemy
\left(\frac{ \sqrt[4]{x^{2}+1} + \sqrt[4]{y^{2}+1} + \sqrt[4]{z^{2}+1}}{3}\right)^{2} \ge  \frac{2 \sqrt{3} }{3}
Funkcja f(t)= \sqrt[4]{t^{2}+1} jest wypukła dla t\in (0,1], a nawet trochę dalej (wolfram to potwierdził, bo coś nie byłem pewien swoich rachunków) - zwróćmy uwagę, że wobec warunków x,y,z>0 oraz xy+xz+yz=1 "nasze" zmienne wpadają do tego przedziału.
Wobec tego z nierówności Jensena uzyskujemy, że
\frac{ \sqrt[4]{x^{2}+1} + \sqrt[4]{y^{2}+1} + \sqrt[4]{z^{2}+1}}{3} \ge  \sqrt[4]{\left( \frac{x+y+z}{3}  \right)^{2}+1}, a następnie z monotoniczności funkcji f(z)=z ^{ \frac{1}{4} } w jej dziedzinie i dodatniości zmiennych x,y,z wnioskujemy (znana nierówność a^{2}+b^{2}+c^{2} \ge ab+ac+bc, którą można udowodnić np. zwijając w kwadraty), że
\frac{ \sqrt[4]{x^{2}+1} + \sqrt[4]{y^{2}+1} + \sqrt[4]{z^{2}+1}}{3} \ge  \sqrt[4]{\left( \frac{x+y+z}{3}  \right)^{2}+1} \ge  \sqrt[4]{ \frac{3(xy+xz+yz)}{9}+1 }=\\= \sqrt[4]{ \frac{4}{3} }
Podnosząc nierówność \frac{ \sqrt[4]{x^{2}+1} + \sqrt[4]{y^{2}+1} + \sqrt[4]{z^{2}+1}}{3}  \ge \sqrt[4]{ \frac{4}{3} } stronami do kwadratu, dostajemy, że
\left(\frac{ \sqrt[4]{x^{2}+1} + \sqrt[4]{y^{2}+1} + \sqrt[4]{z^{2}+1}}{3}\right)^{2} \ge \frac{2 \sqrt{3} }{3}, czyli to, do czego sprowadziliśmy problem.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 lip 2015, o 16:01 
Użytkownik

Posty: 1226
W lewej proponuję zastosować 9(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8(x+y+z)(xy+yz+zx) oraz C-S.

-- 21 lipca 2015, 21:27 --

Premislav napisał(a):
zwróćmy uwagę, że wobec warunków oraz "nasze" zmienne wpadają do tego przedziału
Nie, np. x=2,\ y=z=\sqrt{5}-2 też pasuje.

W prawej ten sam trick, co w lewej zadziała, bo \left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\ge 9\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)} oraz (x+y)(y+z)(z+x)\ge\frac{8}{9}\sqrt{3}\cdot (xy+yz+zx)^{3/2}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 silnia podwójna  Mbach  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl