szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2015, o 00:54 
Użytkownik

Posty: 5411
Lokalizacja: Kraków
Dla jakich n jeśli a_1, ..., a_n >0 to \sum_{j=1}^n a_j \leq n-1 + \prod_{j=1}^n \ max\{ 1, a_j \} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2015, o 16:07 
Użytkownik

Posty: 1390
Lokalizacja: Poznań
dla każdego naturalnego?
Dowód przez indukcję:

n=1 wtedy:

n-1+ \prod_{j=1}^{n}  \max\{ 1, a_j \}=\max\{ 1, a_n \}  \ge a_n= \sum_{j=1}^{n} a_j

Załóżmy więc, że nierówność jest prawdziwa dla n=k

A więc zachodzi: \sum_{j=1}^k a_j \leq k-1 + \prod_{j=1}^k \max\{ 1, a_j \}

Weźmy pierwszy przypadek: Niech mianowicie a_{k+1} \in \left(0;1 \right>

wtedy:

(*) \ \ \prod_{j=1}^{k+1} \max\{ 1, a_j \} =\prod_{j=1}^k \max\{ 1, a_j \} \cdot \max \{1, a_{k+1} \}=\prod_{j=1}^k \max\{ 1, a_j \} \cdot 1=\prod_{j=1}^k \max\{ 1, a_j \}

(k+1)-1+\prod_{j=1}^{k+1} \max\{ 1, a_j \}=k-1 + \prod_{j=1}^{k+1} \max\{ 1, a_j \}+1 \stackrel{(*)}{=} k-1+\prod_{j=1}^{k} \max\{ 1, a_j \}+1 \stackrel{\hbox{zał.}}{ \ge }  \sum_{j=1}^{k}a_j+1 \ge \sum_{j=1}^{k}a_j+a_{k+1}=\sum_{j=1}^{k+1}a_j

przypadek 2:
a_{k+1}>1

wtedy:

(*) \ \ \prod_{j=1}^{k+1} \max\{ 1, a_j \}=\prod_{j=1}^{k} \max\{ 1, a_j \} \cdot \max \{1,a_{k+1} \}=\prod_{j=1}^{k} \max\{ 1, a_j \} \cdot a_{k+1}

dodatkowo zawsze:
(**) \ \ \forall k: \ \ \prod_{j=1}^{k} \max\{ 1, a_j \} \ge 1

(k+1)-1+\prod_{j=1}^{k+1} \max\{ 1, a_j \}\stackrel{(*)}{=} k-1+\prod_{j=1}^{k} \max\{ 1, a_j \} \cdot a_{k+1} +1=k-1 +\prod_{j=1}^{k} \max\{ 1, a_j \}+(a_{k+1}-1)\prod_{j=1}^{k} \max\{ 1, a_j \}+1 \stackrel{\hbox{zał.}}{ \ge } \sum_{j=1}^{k}a_j+(a_{k+1}-1)\prod_{j=1}^{k} \max\{ 1, a_j \}+1 \stackrel{(**)}{ \ge } \sum_{j=1}^{k}a_j +a_{k+1}-1+1=\sum_{j=1}^{k}a_j +a_{k+1}=\sum_{j=1}^{k+1}a_j

Czy gdzieś popełniłem błędy?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl