szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kwadrat i cecha
PostNapisane: 20 lip 2015, o 10:42 
Użytkownik

Posty: 5408
Lokalizacja: Kraków
Ile to x jeśli 4(\lfloor x \rfloor ^2 +\lfloor x \rfloor)= 4x^2 -1 ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kwadrat i cecha
PostNapisane: 20 lip 2015, o 11:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9856
Lokalizacja: Wrocław
Liczba x^{2}- \frac{1}{4} musi być całkowita, a więc \left\{ x^{2}\right\}= \frac{1}{4}. Stąd łatwo wynika, że \left\{ x\right\}= \frac{1}{2}.
Podstawiając x=\lfloor x\rfloor+ \frac{1}{2} do wyjściowego równania, otrzymujemy tożsamość, zatem rozwiązaniami równania są wszystkie liczby postaci k+ \frac{1}{2} dla k\in \ZZ
To naprawdę aż takie trywialne? :O Tu musi być błąd...
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kwadrat i cecha
PostNapisane: 20 lip 2015, o 11:30 
Użytkownik

Posty: 5408
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
a więc \left\{ x^{2}\right\}= \frac{1}{4}. Stąd łatwo wynika, że \left\{ x\right\}= \frac{1}{2}.
a czemu ...?
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Kwadrat i cecha
PostNapisane: 20 lip 2015, o 11:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
To ciekawe, że chociaż wyszedłeś z błędnego założenia (gdyby x^2 = \frac 54, to \{x\} = \sqrt{5}/2 - 1), ale dostałeś chyba poprawny wynik.

Można argumentować tak: lewa strona na przedziałach (k, k+1) (k \in \ZZ) jest stała, zaś prawa monotoniczna (malejąca dla x <0, rosnąca dla x > 0), więc punkt przecięcia się wykresów może być co najwyżej jeden. I Ty go właśnie wskazałeś.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Kwadrat i cecha
PostNapisane: 20 lip 2015, o 12:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9856
Lokalizacja: Wrocław
No dobra, to było durne, jak zwykle szybciej piszę niż myślę. Dzięki za czujność.
Kawałek rozwiązania wyglądający na poprawny:
podstawmy \lfloor x\rfloor=x-\left\{ x\right\}. Wówczas otrzymujemy
(x-\left\{ x\right\})^{2}+x-\left\{ x\right\}=x^{2}- \frac{1}{4},
czyli \left(x-\left\{ x\right\}+ \frac{1}{2}\right)^{2}=x^{2},
a to prowadzi do (znowu wzory skróconego mnożenia)
\left(2x-\left\{ x\right\}+ \frac{1}{2}   \right)\left(-\left\{ x\right\}+ \frac{1}{2}   \right)=0.
Tak więc równanie po pierwsze spełniają wszystkie liczby, o których poprzednio napisałem, a po drugie
jeszcze takie, że 2x-\left\{ x\right\}+ \frac{1}{2}=0, tj. x+ \frac{1}{2} jest liczbą całkowitą, czyli to się zawiera w powyższym.

-- 20 lip 2015, o 11:58 --

Ten Twój argument jest zbyt pro, nigdy bym na coś takiego nie wpadł. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kwadrat sumy wyrażeń algebraicznych.  Danlew  5
 kwadrat liczby wymiernej  karolinka137  2
 kwadrat sumy i roznicy  tratata  3
 Kwadrat sumy.  Dysfunkcja  2
 Równanie z cechą i parametrem  mol_ksiazkowy  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl