szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2015, o 09:26 
Użytkownik

Posty: 5492
Lokalizacja: Kraków
Niech 0 <x <y i A = \frac{x+y}{2}, G= \sqrt{xy}, H= \frac{2xy}{x+y}, Q = \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}.
Uporzadkować: |[H, G]|, |[G, A]|, |[A, Q]|,
Uwagi:
|[a, b]| = |b-a| gdy a \leq b.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 lip 2015, o 10:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
A - G \ge Q - A

x + y \ge \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} + \sqrt{xy}

x^2+y^2 + 2xy \ge \frac{x^2+y^2}{2} + xy + \sqrt{2 \cdot xy(x^2+y^2) }

(x+y)^2 \ge 2\sqrt{2 \cdot xy(x^2+y^2) }

(x+y)^4 \ge 8 \cdot xy (x^2+y^2), a to zwija się do (x-y)^4 \ge 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2015, o 10:56 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
[H,G] \le [G,A] (wedle przyjętych oznaczeń) można zaś uzyskać z użyciem nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb \frac{x+y}{2} i \frac{2xy}{x+y}, natomiast nie umiem stwierdzić, jak się ma [H,G] do [A,Q]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2015, o 11:06 
Użytkownik

Posty: 5492
Lokalizacja: Kraków
Może też jakiś przykład żeby nie było „na sucho”:
x= 1  \  y = 9 i wtedy \begin{cases}A=5   \\   G = 3 \\  H = 1, 8  \\  Q = \sqrt{41}= 6, 402…\end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2015, o 11:26 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Wyszło mi, że [A,Q] \ge \left[ H,G\right], ale mój dowód jest tak obleśny, że go ukryję, ostrzegam, że tam nie ma na co patrzeć.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lip 2015, o 23:11 
Użytkownik

Posty: 5492
Lokalizacja: Kraków
a co z [x ,H] i [Q, y] ...? !
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 01:29 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Chyba [Q,y]>[x,H]
bardzo brzydki dowód bez żadnych tricków:    

A poniżej słynny dowód przez przykład:
niech x=1,y=2. Wtedy [x,H]= \frac{4}{3}-1= \frac{1}{3} oraz [Q,y]=2- \sqrt{2}> \frac{1}{2}> \frac{1}{3}. \mathbb{Q}.\mathbb{E}.\mathbb{D}
Pewnie to wszystko jest źle, bo nie umiem liczyć, ale miałem ochotę coś napisać.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Uporządkowanie liczb z pierwiastkiem w wykladniku  gandziowy  3
 Uporządkowanie wyrażenia  urbanek18  2
 Zapisywanie sumy przedziałów  winfast29  1
 Uporządkowanie wyrazów  michal111  4
 Dwa dowody nierówności Cauchy'ego o średnich  szymek12  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl