szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 13:06 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
Dany jest układ równań z niewiadomymi x, y \in \RR. Wyznaczyć takie t, dla którego wartość wyrażenia x^2+y^2 jest najmniejsza.

\begin{cases}x+y=t+1 \\ xy=4 \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 13:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 435
Lokalizacja: Glasgow
Podnosząc pierwsze równanie do kwadratu:
\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = t^2 + 2t + 1 \\ xy = 4 \end{cases}

Po uporządkowaniu dostajesz:
x^2 + y^2 = t^2 +2t - 7

I kiedy wartość wyrażenia x^2 + y^2 będzie najmniejsza? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 13:43 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
Chewbacca97, Nie wiem :(
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 13:58 
Użytkownik

Posty: 1284
Rozwiązanie tego zadania jest bezpośrednią konsekwencją nierówności (x-y)^2\ge 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 14:04 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
bosa_Nike, Dalej nie wiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 14:29 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Wartość wyrażenia x^2 + y^2 będzie najmniejsza kiedy zarówno x,y będą równe zero. Kwadrat liczby nie może być ujemny. Zatem wyliczasz dla jakich t wyrażenie t^2 +2t - 7 będzie równe zero. Po obliczeniu delty wychodzi, że t=-1-2 \sqrt{2} lub t=-1+2 \sqrt{2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 14:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1460
Dario1 napisał(a):
Wartość wyrażenia x^2 + y^2 będzie najmniejsza kiedy zarówno x,y będą równe zero....
mint18 napisał(a):
xy=4


-- 23 lip 2015, o 14:58 --

F=x^{2}+y^{2}=x^{2}+((t+1)-x))^{2}=2x^{2}-2x(t+1)+(t+1)^{2}

Albo przez pochodną

\frac{dF}{dx}=4x-2(t+1)=0

x= \frac{t+1}{2}

Lub nie przez pochodną ale przez znalezienie wierzchołka paraboli x= \frac{-b}{2a} = \frac{2(t+1)}{4} = \frac{t+1}{2}

\frac{t+1}{2}+y=t+1

y= \frac{t+1}{2}=x

xy=x^{2}=4

x_{1}=-2, y_{1}=-2, F=8, t_{1}=-5

x_{2}=2, y_{2}=2, F=8, t_{2}=3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 15:31 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
Ok może przez ten upał przestałem myśleć, a teraz popadało i jest ok :) Co do tego co napisał Chewbacca97, domyślałem się, że masz na myśli x^2=y^2=0, ale ten układ równań wtedy by był sprzeczny.

Zaproponuję jeszcze inne rozwiązanie:

xy = 4  \Rightarrow x= \frac{4}{y}

Oczywiście x^2, y^2 > 0 więc z AM-GM:

x^2+y^2=y^2+ \frac{16}{y^2}  \ge 2  \sqrt{y^2 \cdot \frac{16}{y^2} } = 8

Równość zajdzie gdy x^2=y^2=4.

Pierwszy przypadek: x=y=-2, wtedy układ równań przyjmuje postać:
\begin{cases} -4 = t+1 \\ 4=4 \end{cases}
skąd t = -5.

W drugim przypadku x=y=2, układ wygląda tak:
\begin{cases} 4 = t+1 \\ 4=4 \end{cases}
skąd t=3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 16:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1460
mint18 napisał(a):
x^2+y^2=y^2+ \frac{16}{y^2} \ge 2 \sqrt{y^2 \cdot \frac{16}{y^2} } = 8
Rozumiem, że to z nierówności Cauchy'ego o średnich (między arytmetyczną i geometryczną).
mint18 napisał(a):
... skąd t = 5
t=-5
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 16:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 435
Lokalizacja: Glasgow
mint18, ja chciałem tylko żebyś mi powiedział kiedy cokolwiek ma szansę bycia "najmniejszym"... Pamiętając o drugim równaniu oczywiście! ;)

Czyli (tak jak ty to zrobiłeś):
1. wyznaczasz sobie np. y
2. lewa strona przyjmuje postać: x^2 +  \frac{16}{x^2}
3. liczysz pochodną i minima ( x=2 \vee x=-2 ) - choć przyznam, że:
mint18 napisał(a):
x^2+y^2=y^2+ \frac{16}{y^2} \ge 2 \sqrt{y^2 \cdot \frac{16}{y^2} } = 8

wygląda bardziej elegancko. ;)

4. liczysz t odpowiednio dla x=2 i dla x=-2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 16:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1460
Chewbacca97 napisał(a):
Po uporządkowaniu dostajesz:
x^2 + y^2 = t^2 +2t - 7
Co trzeba było zrobić z tym równaniem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2015, o 16:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 435
Lokalizacja: Glasgow
Wierz lub nie, ale ja kiedy policzyłem, że x=y=2 lub x=y=-2 , to wróciłem do prawej strony cytowanego przez ciebie równania:
8 = t^2 +2t - 7 \\ t^2 + 2t - 15 = 0 \\ \left( t+5\right) \left( t-3\right) = 0 \\ t = -5  \vee t= 3

"Trochę na około" xD Faktycznie gorąco dzisiaj było... ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Różnica kwadratów.  Maksiu  4
 różnica kwadratów - zadanie 3  Tys  1
 Udowodnij, że.... Suma pierwiastkow.  kuzio87  2
 Suma algebraiczna  en!  4
 Rozwiązywanie równań pierwiastkowych  [w]arrior  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl