szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Suma z cechą
PostNapisane: 25 lip 2015, o 17:25 
Użytkownik

Posty: 5493
Lokalizacja: Kraków
Ile to jest \sum_{k=1}^n \lfloor (\frac{k}{3})^3 \rfloor ?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Suma z cechą
PostNapisane: 28 lip 2015, o 07:46 
Gość Specjalny

Posty: 1330
Lokalizacja: Suchedniów
Tak z błędem rzędu O(n) (pewnie gdzieś zgubiłem jakiś ostatni wyraz czy coś) i brute forcem:

Oznaczmy naszą sumę przez S_n. ponadto niech
C_n = \sum_{k=1}^{n} k^3. Wtedy:
S_n = \sum_{3j \leq n} \left\lfloor \left(\frac{3j}{3}\right)^3 \right\rfloor +
\sum_{3j + 1 \leq n} \left\lfloor \left(\frac{3j + 1}{3}\right)^3 \right\rfloor +
\sum_{0 \leq 3j - 1 \leq n} \left\lfloor \left(\frac{3j-1}{3}\right)^3 \right\rfloor.
Pierwsza suma to po prostu C_{\lfloor n/3 \rfloor}.

Zauważmy teraz, że
(j + \frac{1}{3})^3 = j^3 + 3\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot\frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} =
(j^3 + 1) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{27}),
pierwszy nawias to liczba całkowita, a drugi liczba z przedziału (0,1), zatem w wyrażeniu pod drugą sumą występuje po prostu (j^3 + 1).

Podobnie postępując z ostatnim wyrażeniem:
(j - \frac{1}{3})^3 = j^3 - 3\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot\frac{1}{3^2} - \frac{1}{3^3} = 
(j^3 - 1) + \frac{1}{3} - \frac{1}{27},
zatem składając to wszystko razem do kupy:
S_n = C_{\lfloor n/3 \rfloor}  +\sum_{j \leq (n-1)/3} (j^3 + 1) + \sum_{ 1 \leq j \leq (n+1)/3} (j^3 - 1).

S_n = C_{\lfloor n/3 \rfloor} + C_{\lfloor (n-1)/3 \rfloor} + \left\lfloor \frac{n-1}{3} \right\rfloor + C_{\lfloor (n+1)/3 \rfloor} - \left\lfloor \frac{n+1}{3} \right\rfloor.

To na upartego można uznać za policzoną sumę, jak sobie człowiek przypomni wzór sumę trzecich potęg kolejnych liczb naturalnych.

Prawdodobnie nie widzę czegoś oczywistego i da się to rozwiązać w dwóch linijkach;)
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Suma z cechą
PostNapisane: 28 lip 2015, o 10:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Dla n=5 rozbieżność między wynikiem, czyli 7, a Twoim rozwiązaniem, 10, to 3. Wszak \textstyle (j +\frac13)^3 = j^3+j^2+\frac j3+\frac1{27}.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Suma z cechą
PostNapisane: 28 lip 2015, o 14:12 
Gość Specjalny

Posty: 1330
Lokalizacja: Suchedniów
Wydało się, taki stary chłop, a nie zna wzorów skróconego mnożenia. Post do usunięcia ;)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Suma z cechą
PostNapisane: 28 lip 2015, o 16:42 
Użytkownik

Posty: 5493
Lokalizacja: Kraków
uzupełnienie zadania:
Ukryta treść:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Suma pierwiastków - zadanie 7  RCCK  1
 Suma kwadratów - zadanie 13  lukaszx95  2
 Udowodnij że suma sześcianów  myther  1
 Suma kolejnych liczb naturalnych.  drwlodziu  10
 Nierówność przy założeniu, że suma trzech liczb równa jest 1  jismena  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl