szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 00:30 
Użytkownik

Posty: 531
Lokalizacja: Polska
Wykazać na siedem zasadniczo różnych sposobów, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x>0 następująca nierówność jest prawdziwe:
x+ \frac{1}{x} \ge 2
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 00:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Nie wiem, czy to zasadniczo różne sposoby, ale można to wykazać z nierówności między średnimi lub przenosząc 2 na lewą stronę, żeby potem zwinąć do (\sqrt x + \sqrt x^{-1})^2 \ge 0.

Z pewnością innym sposobem jest skorzystanie z pochodnej. Wystarczy ograniczyć się do x \ge 1, bo jeżeli 0 < x < 1, to zamieniamy x na 1/x. Dla x = 1 to jest prawda: 1 + 1 \ge 2. Lewa strona jest rosnąca (bo pochodna 1 - x^{-2} jest nieujemna), więc dla wszystkich x \ge 1 nierówność jest prawdziwa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 00:41 
Korepetytor

Posty: 1828
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Można pokombinowć z Cauchy-Schwarzem:

\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = \left( x + \frac{1}{x} \right)\left(  \frac{1}{x}  + x \right) \ge (1 + 1)^2

Po spierwiastkowaniu wychodzi to, co trzeba.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 01:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1302
Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
Może z pomocą trygonometrii?
x = \tg{\frac{t}{2}}. Mamy x > 0, czyli \tg{\frac{t}{2}} > 0 więc ograniczmy się do t \in (0, \pi)
x + \frac{1}{x} = \frac{\sin{\frac{t}{2}}}{\cos{\frac{t}{2}}} + \frac{\cos{\frac{t}{2}}}{\sin{\frac{t}{2}}} = \frac{2}{\sin{t}}, a skoro t \in (0, \pi) to \sin{t} \in (0,1] czyli x + \frac{1}{x}  \ge 2.
Mam nadzieję, że jest w miarę poprawnie, jeśli tak to jestem z siebie dumny, bo pierwszy raz wpadłem na użycie trygonometrii do tego typu zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 01:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1343
Lokalizacja: Katowice
fajne to podstawienie z tangensem

od siebie dodam dowód z nierówności Bernoulliego:

x+\frac 1x = \frac 1x\left( 1+x^2\right) = \frac 1x \left(1+\left(1+(x-1)\right)^2\right) \ge \frac 1x \left(1+\left(1+2(x-1)\right)\right) = \frac 1x \left(2+2x-2\right)=\frac 1x \cdot 2x = 2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 01:30 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Niech ABC będzie trójkątem prostokątnym z przeciwprostokątną AB o długości x+\frac 1x i takim, że spodek D wysokości opuszczonej z C dzieli przeciwprostokątną tak, że |AD|=x, |DB|=\frac 1x. Z podobieństwa trójkątów ADC i CDB łatwo dostajemy, że CD=1. Ponieważ środek okręgu opisanego na ABC znajduje się na odcinku AB, wiemy, że promień tego okręgu jest równy co najmniej 1, a zatem średnica co najmniej 2. Ale średnica to AB, co kończy dowód.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 03:13 
Użytkownik

Posty: 531
Lokalizacja: Polska
Od siebie dodam z twierdzenia Pitagorasa: długości przyprostokątnych: x- \frac{1}{x} oraz 2 ; długość przeciwprostokątnej x+ \frac{1}{x}
\left(x- \frac{1}{x} \right)^2 +2^2=\left(x+ \frac{1}{x}\right)^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 03:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1302
Lokalizacja: Rzeszów/Kraków
Znajomy, który nie jest użytkownikiem forum znalazł jeszcze jeden, zatem w jego imieniu podbijam stawkę do dziewięciu sposobów (o ile dobrze policzyłem).

x > 0, przyjmijmy zatem x=e^{y}.
x + \frac{1}{x} = x + x^{-1} = e^{y} + e^{-y} = 2 \cosh{y}  \ge 2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 06:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1427
Lokalizacja: LBN
x+ \frac{1}{x} \ge 2

\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x} \ge 2

\frac{x^{2}+1}{x}  \ge 2

Mamy x>0

x^{2}+1  \ge 2x

x^{2}-2x+1  \ge 0

Po lewej parabola, gałęzie do góry, \Delta=0, a więc lewa strona jest nieujemna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 07:19 
Użytkownik

Posty: 12588
Lokalizacja: Bydgoszcz
W nierówności Younga: ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} wstawiamy p=q=2,\ a=\sqrt{x}, \ b=1/a

-- 27 lip 2015, o 06:36 --

Funkcja h(y)=e^y jest wypukła, zatem wyrażenie h(y)+h(-y) rośnie dla y>0. Stąd dla x>1 mamy f(x)=x+1/x=h(\ln x)+h(-\ln x)\geq 2h(0).
Przy 0<x<1 wyrażenie maleje z oczywistych powodów (f(x)=1/f(1/x))
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2015, o 11:16 
Użytkownik

Posty: 1957
Lokalizacja: Warszawa
Można też zbadać funkcję

y=x+ \frac{1}{x}

i naszkicować jej wykres. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij że x=... jest dla każdych argumentów a,b,c mni  magik100  2
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Udowodnij podzielność - zadanie 13  LichuKlichu  1
 Udowodnij ze liczba ... jest liczba naturalną  1jedrzej1  1
 Udowodnij że jeśli .....  n0o  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl