szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2015, o 14:35 
Użytkownik

Posty: 73
Czy mógłby ktoś poświęcić chwilę swojego cennego czasu i pomóc mi z tym zadaniem?

Udowodnij, że jeśli liczby rzeczywiste a i b spełniają warunek \frac{1}{ a^{2} }+\frac{1}{ b^{2} }=1, to a^{4}+ b^{4} \ge  (a+b)^{2} .

Doszedłem (być może błędnie) do postaci (a^{2}+ b^{2})(a^{2}+ b^{2}-3) \ge 2ab .

W jaki sposób mam dowieść, że a^{2}+ b^{2} \ge 4 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2015, o 14:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10237
Lokalizacja: Wrocław
Zauważmy, że założenie jest równoważne równości a^{2}b^{2}=a^{2}+b^{2} (mnożenie stronami). Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i nieujemności kwadratu liczby rzeczywistej (albo szybciej z nierówności między średnimi) wynika, że a^{4}+b^{4} \ge 2a^{2}b^{2}=2a^{2}+2b^{2} \ge a^{2}+b^{2}+2ab=(a+b)^{2}. Ostatnią nierówność można podobnie uzasadnić ze wzoru na kwadrat różnicy, bo jest równoważna nierówności a^{2}+b^{2} \ge 2ab

-- 29 lip 2015, o 13:44 --

A mógłbyś napisać, jak doszedłeś do "Twojej" postaci nierówności?

-- 29 lip 2015, o 13:46 --

A od tamtego miejsca, do którego masz:
\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \ge  \frac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}} =2 z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną i założenia w postaci, do której przekształciłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2015, o 14:48 
Użytkownik

Posty: 73
Dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2015, o 16:54 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
Tak robiłem sobie i wpadłem na inny pomysł, trochę mniej sprytny ale też pokażę.

Z równania \frac{1}{ a^{2} }+\frac{1}{ b^{2} }=1 łatwo można dostać, że b= \pm  \frac{a}{ \sqrt{a^2-1} }, gdzie oczywiście |a| > 1.

Podstawiając za b do nierówności a^{4}+ b^{4} \ge (a+b)^{2} otrzymujemy:

a^4 +  \frac{a^4}{(a^2-1)^2}  \ge a^2  \pm + 2a \frac{a}{ \sqrt{a^2-1} } +  \frac{a^2}{a^2-1}, a tą mnożymy obustronnie przez \frac{(a^2-1)^2\sqrt{a^2-1}}{a^2} skąd:

a^2(a^2-1)^2\sqrt{a^2-1}+a^2\sqrt{a^2-1} \ge (a^2-1)^2\sqrt{a^2-1} \pm 2(a^2-1)^2+\sqrt{a^2-1}(a^2-1)

Podstawiamy t^4=a^2-1, po redukcji wyrazów podobnych i uporządkowaniu dostajemy oczywistą nierówność (t^7 \pm t)^2 \ge 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lip 2015, o 17:56 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Jednolinijkowo, z nierówności Cauchy'ego - Schwarza mamy:
a^{4}+b^{4}=\left(a^{4}+b^{4}\right)\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right) \ge \left( a+b \right)^{2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl