szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sie 2015, o 12:57 
Użytkownik

Posty: 5466
Lokalizacja: Kraków
Udowodnić że x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx \geq \frac{3}{4} max \{ (x-y)^2,  (y-z)^2,  (z-x)^2 \}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 7 sie 2015, o 13:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10248
Lokalizacja: Wrocław
Lewa strona to jest \frac{1}{2}\left((x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \right).
Jakoś za łatwa mi się wydaje ta nierówność, przecież wystarczy pokazać, że lewa strona jest nie mniejsza niż \frac{3}{4}\left(x-y)^{2}, a reszta przypadków idzie w pełni analogicznie, a w ogóle to z uwagi na cykliczność nierówności ze wzgl. na zmienne x_{1}=x-y, x_{2}=y-z, x_{3}=z-x można bez straty ogólności założyć, że \left| x-y\right|=\max\left\{ \left| x-y\right|,\left| y-z\right|, \left| z-x\right|   \right\}
No a \frac{1}{2}\left((x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \right) \ge \frac{3}{4}\left(x-y)^{2}
jest równoważna nierówności \frac{1}{2}\left((y-z)^{2}+(z-x)^{2} \right) \ge \frac{1}{4}\left(x-y)^{2}, a ta wynika z nierówności Jensena dla f(t)=t^{2}, argumentów \left| y-z\right| i \left| z-x\right| oraz wag \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, no i z nierówności trójkąta oraz monotoniczności f(t)=t^{2} dla t>0.
Można to też po prostu zwinąć do sumy nieujemnych wyrażeń, bo używanie czegoś takiego do takiej nierówności to trochę żart.
Równoważnie mamy z^{2}+ \frac{1}{4}\left(x^{2}+y^{2} \right) -yz-xz+\frac{xy}{2} \ge 0, tj.
z^{2}+ \frac{1}{4}\left(x+y\right)^{2}-z(x+y) \ge 0, a to się w końcu zwija do
\left(z- \frac{x+y}{2}  \right)^{2} \ge 0
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl