szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 17:12 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Malopolska
\lim_{n \to \infty} ( log_{8}x + log_{8}^{2}x + ... + log_{8}^{n}x) = \lim_{n \to \infty}  (\frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{ \sqrt{ n^{4} + 4} })

Co z prawa stroną? Gdzieś indziej widziałem jakieś rozwiązanie gdzie skrócono to do sumy szeregu, ale czy to nie powinna być suma ciągu geometrycznego? W końcu jest skończona liczba wyrazów, czy czegoś nie rozumiem od tego gorąca.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 17:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3361
Lokalizacja: Krk
Po prawej w mianowniku na pewno ma być x? W liczniku masz ciąg arytmetyczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 17:35 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Malopolska
mortan517 napisał(a):
Po prawej w mianowniku na pewno ma być x? W liczniku masz ciąg arytmetyczny.

faktycznie, a to ze tam jest arytmetyczny to wiem. Bardziej chodzi mi o to co z lewą stroną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 17:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3361
Lokalizacja: Krk
Po lewej mamy geometryczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 18:01 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Malopolska
\lim_{n \to \infty} (log_{8}x  \frac{1-log_{8}^{n}x}{1-log_{8}x}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{ \frac{n(1 + n)}{2}}{ n^{2}\sqrt{ 1 +  \frac{4}{n ^{4}} } })

???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 18:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
Jest ok. Granica prawej strony jest łatwa. Co możesz powiedzieć o zbieżności lewej strony? Do czego ona jest wtedy zbieżna?


PS. To przekształcenie jest prawdziwe pod jednym założeniem, zapomniałeś o nim wspomnieć (co się dzieje gdy log_{8}x =1?).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 18:16 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Malopolska
Noo iloczyn musi należeć do (-1;1)
\left\{\begin{array}{l}log_{8}x>-1\\log_{8}x<1 \end{array}
x \in ( \frac{1}{8}; 8 )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 18:18 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
Policz teraz obie granice i rozwiąż otrzymane równanie ze względu na x.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 18:38 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Malopolska
L = \lim_{n \to \infty} (log_{8}x \frac{1-log_{8}^{n}x}{1-log_{8}x})
P =  \frac{1}{2}
co tu najlepiej wyjąć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 18:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
Jeżeli q\in (-1,1) to do czego daży q^n?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Malopolska
Nakahed90, zaraz zaraz, przez ten upał trochę namieszałem. Przecież q wcale nie musli należeć do (-1;1), bo to jest ciąg geometryczny, a nie szereg?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sie 2015, o 22:30 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
Szereg jest granicą ciągu (w lekkim uproszczeniu oczywiście).

Jeżeli masz granicę postaci (czyli de facto szereg)
lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n q^{k}
to ona istnieje (w sensie granica skończona) wtedy i tylko wtedy, gdy q\in (-1,1). Stąd narzucony został warunek, że log_{8}(x)\in(-1,1), gdyż w przeciwnym wypadku nie ma sensu rozważania takiego równania (lewa strona albo jest równa \pm \infty albo nie istnieje).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiąż równanie - zadanie 10  microbiusz  3
 Rozwiąż równanie - zadanie 12  khorh  1
 Rozwiąż Równanie - zadanie 15  Spinek  2
 Rozwiąż równanie - zadanie 58  kluczyk  2
 Rozwiąż równanie - zadanie 88  dominika902  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl