szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2015, o 14:35 
Użytkownik

Posty: 5415
Lokalizacja: Kraków
Ile to x jeśli \lfloor x^2 - 2x \rfloor = \lfloor x \rfloor ^2 - 2\lfloor x \rfloor i 0 \leq x \leq 3 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2015, o 20:11 
Użytkownik

Posty: 83
Lokalizacja: Łódź
Nie wiem, czy to nie będzie zbyt mało formalne rozumowanie, ale spróbuję.

\left[ x \right] jest stałe w każdym przedziale lewostronnie domkniętym od k do k + 1, gdzie k  \in  C. Można więc, korzystając z wąskiej dziedziny, rozważać to równanie w przypadkach, kolejno dla x  \in  \left[ 0,1 \right), x  \in  \left[ 1,2 \right), x  \in  \left[ 2,3 \right) i x = 3.

Dla prawej strony:
Rozpatrzmy przedziały, wartości składników {\left[ x \right]}^{2} oraz -2\left[x \right] i ich sumy:

1) x  \in  \left[ 0,1 \right),{\left[ x \right]}^{2} = 0, -2\left[x \right] = 0, P = 0
2) x  \in  \left[ 1,2 \right),{\left[ x \right]}^{2} = 1, -2\left[x \right] = -2, P = -1
3) x  \in  \left[ 2,3 \right),{\left[ x \right]}^{2} = 4, -2\left[x \right] = -4, P = 0
1) x  = 3,{\left[ x \right]}^{2} = 9, -2\left[x \right] = -6, P = 3

Dla lewej strony:

Rozpatrzmy przedział x  \in  \left[ 0,2 \right). Funkcja x^{2} - 2x przyjmuje w tym przedziale wartości od -1 do 0, więc \left[ x^{2} - 2x \right] będzie miało wartość - 1.

Wiemy już, że prawa strona równania przyjmuje wartość 0 w całym przedziale [2,3). Ponieważ funkcja x^{2} - 2x jest w tym przedziale rosnąca, i na jego początku przyjmuje wartość 0, wystarczy wyznaczyć najbliższy punkt z tego przedziału, w którym przyjmie wartość 1, rozwiązując:

1 = x^{2} - 2x
x^{2} - 2x - 1 = 0
co daje
x_{1}  = 1 -  \sqrt{2}, x_{2}  = 1 +  \sqrt{2}

Drugie rozwiązanie tego równania leży w wymaganym przedziale, stąd lewa strona równania przyjmuje wartość 0 w przedziale [2, 1 +  \sqrt{2}). Pozostaje sprawdzić dla x = 3, otrzymujemy więc 3 i równanie się zgadza.

Równanie jest więc spełnione dla każdego x \in \left[ 1, 1 +  \sqrt{2})  \cup \left\{3\right\} .
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie pierwszego stopnia.  _rois_  8
 Równanie z pierwiastkiem  robert179  1
 równanie - zadanie 6  robert179  7
 trudne równanie  wasnio  1
 Równanie z wykorzystanie wzoru na połowiczy rozpad pierwast.  Fencek  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl