szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sie 2015, o 17:45 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3987
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Pozwolę sobie tutaj przytoczyć problemat, który wydaje mi się ciekawy oraz zrozumiały dla więszkości użytkowników.

Przez pierścień bez jedynki będę rozumiał pierścień, który nie jest koniecznie przemienny i nie ma elementu neutralnego mnożenia. Oczywiście w takim przypadku nadal możemy mówić o ideałach. Ideał takiego pierścienia to podzbiór który jest zamknięty ze względu na dodawanie oraz mnożenie z lewej i prawej przez dowolne elementy pierścienia.

Oto rodzi się pytanie:

    Problemat (Monod, Ozawa, Thom). Czy istnieje pierścień bez jedynki, który jako ideał jest skończenie generowany, ale nie jest generowany przez jeden element?

Powyższe pytanie pochodzi z tej pracy i jest nadal otwarte. Przypomnę jeszcze definicję skończonego generowania ideału J pierścienia R. Ideał I jest skończenie generowany, gdy istnieją takie elementy x_1, \ldots, x_n\in I, że każdy element x\in I daje się zapisać w postaci

    x=a_1x_1b_1 + \ldots, a_nx_nb_n

dla pewnych a_i, b_i\in R (i\leqslant n).

Mam przykład ideału w algebrze Banacha, który jako ideał lewostronny jest generowany przez 2 elementy ale nie przez 1, ale niestety nie jest kontprzykładem do powyższego problemu.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 sie 2016, o 17:01 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: ba
Pewnie czegoś tu nie rozumiem.

Rozważmy pierścień (przemiennych) wielomianów Laurenta dwóch zmiennych \mathbb{Z}[x,y,(xy)^{-1}]. Pierścień ten podrasujemy elementami, x^{\infty}, y^{\infty}, na które rozszerzamy mnożenie (przemiennie) według: x^iy^j\cdot x^{\infty}=x^{\infty}y^j, x^{i}y^{j}\cdot y^{\infty}=x^iy^{\infty} dla i,j\in\mathbb{Z}\cup\{\infty\}. W tym pierścieniu rozważmy ideał generowany przez jednomiany stopnia nieskończonego, t.j. postaci x^\infty y^* lub x^*y^\infty. Ten ideał (jądro odwzorowania posyłającego te specjalne elementy na zero) jest generowany przez dwa elementy, x^\infty, y^\infty ale nie przez jeden.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sie 2016, o 17:19 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3987
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Rzeczywiście, w pytanie zapomniałem wspomnieć, że chcemy by R^2=R. Wówczas znalezienie przemiennego przykładu nie jest możliwe, co wynika z lematu Nakayamy.

Uwaga: chcemy by każdy element R był iloczynem dwóch elementów z R.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Homomorfizm pierścieni - zadanie 5  kate _19  0
 homomorfizm pierścieni, element odwracalny  wiosna  5
 Generowanie podprzestrzeni wektorowych  przemo9191  4
 Korzystając z jedynki tryg przekształć równanie do postaci  Ppetel  2
 pierwiastek stopnia n z jedynki  MrRipley  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl