szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sie 2015, o 18:51 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: aaaaaaaaaaaa
Witam, proszę o jakąś wskazówkę:

Wyznaczyć wszystkie funkcje f: R  \rightarrow R, spełniające dla każdych x, y \in R równanie:

xf(x) - yf(y)=(x-y)f(x+y)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sie 2015, o 19:57 
Użytkownik

Posty: 5492
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
o jakąś wskazówkę:
wsk tj. \frac{f(x)+ f(y)}{2} =f(\frac{x+y}{2})
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sie 2015, o 18:12 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: aaaaaaaaaaaa
No nie widzę jak to wyprowadzić, ani jak później wykorzystać. Proszę o coś więcej.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 sie 2015, o 18:23 
Użytkownik

Posty: 1284
Za x podstaw x+y i odejmij stronami uzyskaną tożsamość od danej. Poredukuj i za y podstaw \frac{y-x}{2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sie 2015, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: aaaaaaaaaaaa
Dziękuję.

Teraz podstawiając y=0 dostanę:

f( \frac{x}{2}) = \frac{f(x)+f(0)}{2}

Dalej:
\frac{f(x)+f(y)}{2}=f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x+y)+f(0)}{2} , skąd
f(x)+f(y)=f(x+y)+f(0)

(f(x)-f(0))+(f(y)-f(0))=f(x+y)-f(0)
Czyli jeśli f jest ciągła to f(x)-f(0)=ax, podstawiając do wyjściowego równania f(x)=ax+b działa. No zakładam sobie, że ta funkcja jest ciągła, a przecież nie mogę, jak to obejść?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 sie 2015, o 20:07 
Użytkownik

Posty: 1284
Wykorzystaj jeszcze raz wyjściową tożsamość do wyrugowania f(x+y).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sie 2015, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: aaaaaaaaaaaa
Ok, wyszło. Dziękuję!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jak rozwiązać równanie?  gogoad  4
 równanie z parametrem - zadanie 12  basia  1
 Rownanie z dwiema niewiadomymi  cuube  1
 rownanie f okresowej  mol_ksiazkowy  2
 Krzywa i rownanie logistyczne <-- poszukuje materialow  xax82  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl