szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sie 2015, o 11:36 
Użytkownik

Posty: 54
Lokalizacja: Wawa
Czy nierówności typu:

\left| \left| x-1\right|+2x \right|> x

można rozwiązywać rozbijając główny moduł na dwa przypadki (lewa>x lub lewa<-x), czy też trzeba uwzględniać przedziały?

A co, jeśli prawa strona byłaby równa 5, albo \left| x \right|?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 sie 2015, o 13:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2766
Modułów należy "pozbywać się" od zewnątrz. Dobrą metodą jest tutaj rozpatrzenie przedziałów (przypadków), które prawdopodobnie miałeś na myśli.

Pierwszy przedział: x>0
\left| x-1 \right| +2x>x

Powinno się te dwa warunki połączyć spójnikiem logicznym "i" tzn \wedge.

Spróbuj dopisać drugi przedział i odpowiednią nierówność.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 sie 2015, o 17:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Poszukujaca skorzystała z tricku: jeżeli x \le 0, to nierówność jest spełniona "z automatu", gdyż wartość bezwzględna nie przyjmuje wartości mniejszych od zera. Jeżeli zaś x > 0, to |x - 1| \ge 0 (to jest prawdą niezależnie od tego, czym jest x) i 2x > 0, więc zewnętrzną wartość bezwzględną można zdjąć bez problemu. W ogólności jednak nie ma tak łatwo i trzeba dokonać trudniejszej analizy. Nie będę się rozpisywać, bo być może KotwButach nigdy nie spotka takiego zadania :wink:
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 sie 2015, o 18:27 
Użytkownik

Posty: 1968
Lokalizacja: Warszawa
Można też narysować na jednym wykresie funkcje

y= \left| \left| x-1\right|+2x \right|

y=x

i przekonać się na własne oczy, że nierówność

\left| \left| x-1\right|+2x \right|> x

zachodzi dla wszystkich iksów rzeczywistych. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2015, o 10:03 
Użytkownik

Posty: 54
Lokalizacja: Wawa
Dziękuję za te odpowiedzi. Może nie do końca precyzyjnie zadałem pytanie. Chodzi o to, że w najprostszej nierówności typu \left| x-1\right| >5 wystarczy rozbić na dwa przypadki ( x-1>5 lub x-1<-5). Nie trzeba tu brać przecięcia rozwiązań odpowiednio z przedziałami x>=1 i x <1.

Czy tak samo można rozwiązać zadania typu \left| \left| x-1\right|+5x \right| >4. W sensie, czy mogę rozbić na dwa przypadki (>4 lub <-4), a potem każdy jeszcze raz na dwa, po przeniesieniu 5x na lewo i też nie uwzględniać żadnych innych przedziałów?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sie 2015, o 12:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 336
Lokalizacja: Pomorskie
Oczywiście, bowiem prawdziwe jest twierdzenie \left| W(x)\right|>a \Leftrightarrow W(x)>a \vee W(x)<-a, gdzie a>0
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 sie 2015, o 12:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Zauważ, że w Twojej oryginalnej nierówności prawa strona była zależna od x, natomiast w ||x-1| +5x| > 4 już tak nie jest, co znacznie upraszcza jej rozwiązanie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rozwiązanie równania modułowego. brak pomysłu co dalej  fil0zof_  25
 LIczenie zadań w podwójnych modułach - new sposób  solari  11
 rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną - zadanie 2  Ankaaa993  5
 Rozwiązanie nierówności - zadanie 47  matematolek  4
 Wartość bezwględna - sposób rozwiązywania  Tux  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl