szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: Dwumian Newtona
PostNapisane: 18 sie 2015, o 19:04 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: wrocław
Witam :)
Proszę o wyjaśnienie zadania
Dla podanej liczbyk podać taką liczbę naturalną n  \ge ­ k+3, że
{n \choose k}  + {n \choose k+3}= {n+1 \choose k+3}

a) k=1000, n=2002
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwumian Newtona
PostNapisane: 18 sie 2015, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 22494
Lokalizacja: piaski
Przekształcasz te symbole tak aby postać uprościć, a rozpisane dzielisz przez n! oraz mnożysz przez k!(n-k-3)! (podane równanie stronami).
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwumian Newtona
PostNapisane: 2 wrz 2015, o 22:10 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Ostrów Wlkp
Witam serdecznie,
czy mógłby ktoś rozpisać podane przez Pestka96 zagadnienie.
Próbowałem uprościć je z właściwości dwumianu Newtona, efekt był odwrotny. I zatrzymałem się na:
{n \choose k} = {n \choose k+2}
Po rozpisaniu tego wyrażenia na silnie mam:
(n-k+1)(n-k+2)= \frac{1}{(k+1)(k+2)}
I teraz dla k=50 powinno wyjść n=102
Jednakże nie widzę tego z równania które otrzymałem.
Pozdrawiam
Mateusz
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwumian Newtona
PostNapisane: 2 wrz 2015, o 22:19 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
Można tak:
\binom{n+1}{k+3}=\binom{n}{k+2}+\binom{n}{k+3}, zatem równanie redukuje sie do
\binom{n}{k}=\binom{n}{k+2}

Stąd dostajemy, że równanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy n jest parzyste i k=n/2-1 Widać to od razu z symetrii trójkąta Pascala i monotoniczności wyrazów z lewej połówki :)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwumian Newtona
PostNapisane: 2 wrz 2015, o 22:51 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Ostrów Wlkp
Bardzo dziękuję a4karo, za szybą odpowiedz.
Niestety mój wzrok matematyczny jest dość słaby i nie jestem w stanie wyciągnąć tych samych wniosków co Pan.
Prosiłbym o krótkie wytłumaczenie jak z symetrii trójkąta Pascala i monotoniczności wyrazów z lewej strony otrzymać powyższe rozwiązanie i jak to się wiąże z przekształconym przez nas dwumianem Newtona.
Pozdrawiam
Mateusz
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwumian Newtona
PostNapisane: 2 wrz 2015, o 22:54 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jak popatrzysz na poziome rzędy w trójkącie, to zobaczysz, że z lewej strony liczby rosną do środka, a potem maleją. Liczby k i k+2 różnią się o 2, zatem jedyna możliwość aby odpowiadające im wyrazy w trójkącie były one równe jest taka, że sąsiadują one z wyrazem środkowym. A środkowy jest tylko w parzystych rzędach.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwumian Newtona
PostNapisane: 3 wrz 2015, o 09:56 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Ostrów Wlkp
Rozumiem, można pójść dalej i gdybym miał w zadaniu
{n\choose k}={n\choose k+1} to oznaczało by n nieparzyste.
Ponadto z symetrii trójkąta Paskala widać, że wyraz środkowy x=\frac{n}{2},gdzie n jest parzystym wierszem, wyszło że nie potrzebowałem rozpisać na silne by zrobić to zadanie. Chociaż po paru godzinach próbowania jestem ciekaw jakby to wyglądało :)
Dzięki a4karo, za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwumian Newtona
PostNapisane: 3 wrz 2015, o 10:03 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cytuj:
Rozumiem, można pójść dalej i gdybym miał w zadaniu
{n\choose k}={n\choose k+1} to oznaczało by n nieparzyste.

tak.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dwumian Newtona - zadanie 66  Fritillaria  4
 Dwumian newtona - zadanie 56  Suhar87  1
 Dwumian Newtona - zadanie 23  bacioski  1
 dwumian newtona - zadanie 46  eeyoretest  2
 dwumian newtona - zadanie 25  cura  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl