szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2015, o 12:14 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Dwa boki trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu R są odpowiednio równe \frac{R}{2} i \sqrt{3}R. Oblicz długość trzeciego boku.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Oznaczmy trójkąt ABC, gdzie |BC|= \sqrt{3}R i |AC|=\frac{R}{2}. Środek okręgu oznaczmy przezO. Oznaczmy |OCB|= \alpha i |OCA|= \beta. Mamy, że |OB|=R,|OC|=R. Zatem z twierdzenia cosinusów: R ^{2}= R ^{2}+ \left( \sqrt{3} R\right) ^{2}-2R \sqrt{3}\cos  \alpha. Z tego dostajemy \cos \alfa= \frac{\sqrt{3}}{2}. Analogicznie z twierdzenia cosinusów dla trójkąta OCA otrzymujemy \cos \beta=1/4. I teraz otrzymujemy \cos \left( \alpha + \beta\right)=
\frac{-\sqrt{15}+{3}}{8}. A więc z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC, mamy |AB|=\frac{\sqrt{46+6\sqrt{5}}}{4}R. W odpowiedziach w książce są jednak dwie odpowiedzi: \frac{3\sqrt{5}+1}{4}R oraz \frac{3\sqrt{5}-1}{4}R. Gdzie zgubiłem jedną odpowiedź?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2015, o 13:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Nie wziąłeś pod uwagę przypadku, kiedy środek okręgu jest poza trójkątem, czyli trójkąta rozwartokątnego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2015, o 14:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 357
Lokalizacja: Pomorskie
Można z twierdzenia sinusów:
2R= \frac{ \frac{1}{2}R }{\sin  \alpha }, przy czym \alpha =\angle ABC
Stąd wyznaczamy \cos  \alpha- wykluczamy możliwość, że kąt \alpha jest rozwarty (dlaczego?)
Podobnie 2R= \frac{R \sqrt{3} }{\sin  \beta }, gdzie \beta =\angle BAC
Potem wyznaczyć \cos  \beta (kąt \beta może być rozwarty, należy to uwzględnić).
Stąd już łatwo wyznaczyć sinus kąta znajdującego się naprzeciw boku AB (sinus sumy kątów), a następnie znów z twierdzenia sinusów, wyznaczyć \left| AB\right|. Otrzymamy dwie odpowiedzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 09:43 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Ja rozpatrywałem trójkąt właśnie jako rozwartokątny, ale czy będzie ostrokątny czy rozwartokątny to chyba nie ma znaczenia? Tak samo się będzie liczyć?

Karolex nie wiem, dlaczego jeden z tych kątów nie może być rozwartokątny, a drugi może. I w jaki sposób otrzymamy dwie odpowiedzi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 10:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 357
Lokalizacja: Pomorskie
Zauważ, że \frac{1}{2}R<R \sqrt{3}. Co z tego wynika?
Uzyskamy dwie odpowiedzi, gdyż przy obliczaniu cosinusa kąta, który może być rozwarty otrzymamy dwa rozwiązania (z jedynki trygonometrycznej). Mianowicie
\sin  \beta = \frac{ \sqrt{3} }{2}, zatem \cos ^{2} \beta = \frac{1}{4}, skąd
\cos  \beta = \frac{1}{2} \vee \cos  \beta =- \frac{1}{2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 13:38 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
karolex123 napisał(a):
Zauważ, że \frac{1}{2}R<R \sqrt{3}. Co z tego wynika?


No z tego wynika, że \frac{R}{2} nie jest największym bokiem, a kąt rozwarty może być tylko naprzeciwko najdłuższego boku, czyli na przeciwko \frac{R}{2} nie może być.

Twoje rozwiązanie ogólnie rozumiem, jednak jak należałoby uwzględnić drugi przypadek robiąc zadanie moim sposobem(te z początku)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 14:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 357
Lokalizacja: Pomorskie
Założyłeś, że trójkąt jest ostrokątny- to jest pierwszy przypadek, załóż teraz, że kąt BAC jest rozwartokątny. Wtedy środek okręgu opisanego na tym trójkącie znajdzie się poza nim i z tw. cosinusów otrzymasz (z oznaczeniami jak u Ciebie):
R ^{2} =R ^{2}+(R \sqrt{3} ) ^{2} -2R ^{2}  \sqrt{3}\cos \alpha
R ^{2}=R ^{2}+( \frac{1}{2} R) ^{2} -R ^{2}\cos \beta
Później znów twierdzenie cosinusów (z kątem \beta - \alpha) i otrzymasz drugie rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 14:27 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
Najoszczędniej będzie zauważyć, że w Twoim rozumowaniu wszystko będzie tak samo poza tym, że - przy pierwotnych oznaczeniach - |\angle ACB|=\beta-\alpha. Widać na oko, że teraz wszystko ładnie zagra, bo cosinus kąta ACB wyjdzie "sprzężony" do tego w pierwszym przypadku, co pociągnie za sobą "sprzężoność" wyniku, którą widać w odpowiedziach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 16:53 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No zgadza się, teraz rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 21:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 504
Lokalizacja: Chełm
Właśnie o tym na samym początku wspomniałem, myślałem że zauważysz, że gdy trójkąt jest rozwartokątny, wtedy nie dodajesz kątów \alpha i \beta.
Nota bene znalazłem chyba krótsze i bardziej eleganckie rozwiązanie. Przy twoich oznaczeniach i takich:
\angle ACB = \gamma, wtedy \angle AOB = 2\gamma
|AB|=a
Stosujemy dwukrotnie twierdzenie Carnota dla \Delta ABC, \Delta AOB:
\begin{cases} a^2=(\sqrt{3}R)^2+(\frac{R}{2})^2-2\cdot \sqrt{3}R\cdot \frac{R}{2}\cdot \cos\gamma \\ 
a^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot \cos 2\gamma
 \end{cases}
Odejmujemy stronami i po skróceniu przez R^2, zastosowaniu wzoru redukcyjnego \cos 2\gamma=2\cos^2\gamma-1 i podstawieniu t=\cos \gamma otrzymujemy równanie kwadratowe:
4t^2-\sqrt{3}t-\frac{3}{4}=0, które rozwiązujemy otrzymując dwie możliwości, które podstawiamy do pierwszego równania, otrzymując wszystkie rozwiązania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dwa boki trójkąta - zadanie 3  gwazda6  2
 Dwa boki trójkąta  kuderski9  2
 Dwa boki trójkąta - zadanie 2  emma 123  1
 zaleznosci miedzy srodkowymi trojkata a jego obwodem - dowod  madzia84  4
 obrót trójkąta - zadanie 2  agnieszka19192  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl