szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 09:35 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
W trójkącie ABC długości boków AB i AC są odpowiednio równe 4 i 6, a długość środkowej AA' jest równa \sqrt{10}. Oblicz długość boku BC.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 164
Wyprowadźmy wzór na długość środkowej.
Przyjmijmy oznaczenia:
\left| AB \right| = a = 4
\left| AC \right| = b = 6
\left| BC \right| = c
\left| AA' \right| = x = \sqrt{10}

Wtedy z twierdzenia cosinusów otrzymujemy dwa równania:
b^{2} = x^2 +  \frac{1}{4} \cdot c^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} c \cdot cos (\alpha) = x^2 +  \frac{1}{4} c^{2} - xc \cdot cos (\alpha)
oraz
a^{2} = x^2 +  \frac{1}{4} \cdot c^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} c \cdot cos(180^{o} - \alpha ) = x^2 +  \frac{1}{4} c^{2} - xc \cdot cos(180^{o} - \alpha )

Po dodaniu równań stronami i skorzystaniu ze wzoru redukcyjnego cos(180^{o} - \alpha ) = - cos (\alpha):
a^2 + b^2 = 2x^{2} + \frac{1}{2}c^{2} - xc (cos (\alpha) - cos (\alpha))
Zatem:
2x^{2} = a^{2} + b^{2} - \frac{1}{2}c^{2}
x^{2} = \frac{1}{2}(a^{2} + b^{2}) - \frac{1}{4}c^{2}

Otrzymaliśmy wzór na długość środkowej. Podstawmy dane z treści zadania:
10 = \frac{1}{2}(16 + 36) - \frac{1}{4}c^{2}
-16 = -\frac{1}{4}c^{2}
c^{2} = 64
c = 8
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 17:08 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No ta. Ja robiłem twierdzenie cosinusów dla kątów BAA' , CAA' i BAC i wychodziły 3 równania i znacznie bardziej skomplikowane rachunki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 17:39 
Użytkownik

Posty: 437
Lokalizacja: somewhere
Można to zadanie zrobić (oczywiście jeżeli żądamy wyprowadzić sobie wzór na środkową) bez twierdzenia cosinusów. Rozważmy trójkąt ABC, w którym odcinek CD jest wysokością, natomiast odcinek AE- środkową. Oznaczmy AB=c, AC=b, BC=a, CD=h i AE=d. Przedłużamy odcinek AE poza punkt E o odcinek EF tak, aby \left| EF\right|=\left| AE\right|=d. Wtedy czworokąt ABFC jest równoległobokiem (dlaczego). Następnie z punktu F prowadzimy wysokość tego równoległoboku FX (równą oczywiście h). Jeżeli dodatkowo oznaczymy \left| AD\right| =x to oczywiście \left| DB\right|=c-x oraz jako, że \left| CF\right|=c to \left| BX\right| =x. Teraz z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów AXF i BCD mamy:
4d ^{2}=h ^{2}+(c+x) ^{2}
a ^{2}=h ^{2}+(c-x) ^{2}
Dodając te równania stronami otrzymamy:
4d ^{2}=2h ^{2}+2x ^{2}+2c ^{2} -a ^{2}
Oczywiście b ^{2} =x ^{2}+h ^{2}, zatem
4d ^{2}=2b ^{2}+2c ^{2} -a ^{2}  \Rightarrow d= \frac{1}{2} \sqrt{2b ^{2}+2c ^{2}-a ^{2}   }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sie 2015, o 12:39 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
No tak, ale ta konstrukcja jest trochę trudniejsza niż proste twierdzenie cosinusów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sie 2015, o 12:55 
Użytkownik

Posty: 437
Lokalizacja: somewhere
Konstrukcja ta jest przydatna komuś kto nie zetknął się z twierdzeniem cosinusów, a przynajmniej zna twierdzenie Pitagorasa :)
Oczywiście skorzystanie z twierdzenia cosinusów jest tu rzeczywiście względnie łatwiejsze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 W trójkącie ABC - zadanie 10  Dario1  4
 w trójkącie ABC - zadanie 3  mifas  1
 W trójkącie ABC - zadanie 2  minnie12  1
 W trójkącie ABC - zadanie 8  Dario1  6
 W trójkącie ABC - zadanie 5  karol2859  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl