szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 17:38 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych równa jest sumie średnic okręgów opisanego na tym trójkącie i wpisanego w ten trójkąt.

Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu:

Oznaczmy trójkąt literami ABC, gdzie B kąt prosty, |AB| \ge |BC|. r-promień okręgu wpisanego, R-promień okręgu opisanego. Punkty styczności okręgu wpisanego z bokami AB, BC, AC oznaczmy kolejno r1,r2,r3. Wtedy |AB|=|Br1|+|r1A|=r+R+x, i |BC|=r+R-x. Gdzie x to odległość środka okręgu opisanego od punktu r3. Zatem mamy |AB|+|BC|=2r+2R.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 17:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 357
Lokalizacja: Pomorskie
Można szybciej: niech c to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, natomiast a i b to przyprostokątne. Można pokazać, że
1) R= \frac{c}{2}
2) r= \frac{a+b-c}{2}
Zatem 2R+2r=c+a+b-c=a+b.
Własność 1) można udowodnić pokazując, że środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym znajduje się w punkcie będącym środkiem przeciwprostokątnej.
Własność 2) dowodzi się korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 17:48 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
Wydaje się być ok, widoczne wykorzystanie własności, że środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej. Można jednak wykorzystać 2 znane wzory prawdziwe w trójkącie prostokątnym, dodać do siebie poniższe równania (oznaczenia standardowe):
R= \frac{c}{2}
r= \frac{a+b-c}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 1385
Lokalizacja: wawa
Własność 1) znam. Można pokazać dowód własności 2?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sie 2015, o 18:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
Przy Twoich oznaczeniach:
|Cr3|=b-r \\ |r3A|=a-r \\ c=|CA|
Stąd:
c=b-r+a-r  \\ 2r=b+a-c \\ r=\frac{b+a-c}{2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 W trójkącie prostokątnym - zadanie 4  UKFF  2
 W trójkącie prostokatnym - zadanie 3  minimal6  7
 W trójkącie prostokątnym - zadanie 7  Dario1  11
 W trójkącie prostokątnym  wnoros89  2
 W trójkącie prostokątnym - zadanie 8  malgoskk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl