szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2015, o 17:34 
Użytkownik

Posty: 552
Lokalizacja: Polska
Niech a, b, c są liczbami dodatnimi, udowodnij:

\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)} \ge\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 sie 2015, o 20:35 
Użytkownik

Posty: 1259
L-P+3=\frac{ab+c^2}{c(c+a)}+\frac{bc+a^2}{a(a+b)}+\frac{ca+b^2}{b(b+c)}\ge 3\sqrt[3]{\frac{\left(ab+c^2\right)\left(bc+a^2\right)\left(ca+b^2\right)}{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}

Potrzebujemy \frac{\left(ab+c^2\right)\left(bc+a^2\right)\left(ca+b^2\right)}{abc(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 1, czyli

a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+a^4bc+ab^4c+abc^4\ge a^3bc^2+a^2b^3c+ab^2c^3+a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3

To jest prawda, bo z AM-GM (sumy są cykliczne):

a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\ge a^3bc^2+a^2b^3c+ab^2c^3\iff \sum\left(a^3b^3+2a^3c^3\right)\ge 3\sum a^3bc^2

a^4bc+ab^4c+abc^4\ge a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3\iff abc\sum\left(2a^3+b^3\right)\ge 3abc\sum a^2b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sie 2015, o 18:13 
Użytkownik

Posty: 552
Lokalizacja: Polska
Inne rozwiązanie. Początek można zrobić np. w ten sposób. Przenieśmy wszystko na jedną stronę równania:
\frac{ab}{c(c+a)} - \frac{a}{c+a} + \frac{bc}{a(a+b)} - \frac{b}{a+b} + \frac{ca}{b(b+c)} - \frac{c}{b+c} \ge 0 \\
\\
\frac{a(b-c)}{c(c+a)}+\frac{b(c-a)}{a(a+b)}+\frac{c(a-b)}{b(b+c)} \ge 0

Przypuśćmy że a ma największą wartość: a=\max\{a,b,c\}, wtedy mamy dwa przypadki do rozpatrzenia: a \ge b \ge c oraz a \ge c \ge b.

Przypadek I: a \ge b \ge c > 0 . Wtedy mamy:
a(b-c) \ge 0; \ c(a+c) \le a(a+b); \ c(a-b) \ge 0; \ b(b+c) \le a(a+b)
Wnioskujemy:
\frac{a(b-c)}{c(a+c)} \ge \frac{a(b-c)}{a(a+b)} \ \text{ oraz } \ \frac{c(a-b)}{b(b+c)} \ge \frac{c(a-b)}{a(a+b)}
Dlatego też:
{\blue \frac{a(b-c)}{c(a+c)}+\frac{b(c-a)}{a(a+b)}+\frac{c(a-b)}{b(b+c)} \ge \frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{a(a+b)}}=0

Przypadek II: a \ge c \ge b > 0 . Wtedy mamy:
a(b-c) \le 0; \ c(a+c) \ge b(b+c); \ c(a-b) \le 0; \ a(a+b) \ge b(b+c)
Wnioskujemy:
\frac{a(b-c)}{c(a+c)} \ge \frac{a(b-c)}{b(b+c)} \ \text{ oraz } \ \frac{b(c-a)}{a(a+b)} \ge \frac{b(c-a)}{b(b+c)}
Dlatego też:
{\blue \frac{a(b-c)}{c(a+c)}+\frac{b(c-a)}{a(a+b)}+\frac{c(a-b)}{b(b+c)} \ge \frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{b(b+c)}}=0

W ten sposób mamy dwa fajne nierówności do udowodnienia.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Udowodnij nierówność - zadanie 5  Lee  7
 Udowodnij nierówność - zadanie 6  dora  5
 udowodnij nierówność - zadanie 7  Iwka  6
 Udowodnij nierowność  Aramil  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl