szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sie 2015, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
W niniejszym poście i w kolejnej jego części pokrótce wyjaśnię i podam kilka przykładów znajdowania ekstremali funkcjonałów.

Na początek szybka teoria bez zbędnego opisu, który zaciemnia sytuacje. Do wyznaczania ekstremali posłużyć się możemy trzema wzorami:

1) Jeżeli funkcja podcałkowa jest postaci F(x,y,y',y'') to stosujemy Równanie Cauchy-Riemanna:
F_{y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}F_{y'}+\frac{\mathrm{d^{2}}}{\mathrm{dx^{2}}}F_{y''}=0
Jego rozwiązaniem jest równanie różniczkowe zazwyczaj rzędu wyższego niż 2. Takich przykładów rozwiązywać nie będę, ale żeby uprościć sobie sprawę możemy obniżyć rząd równania stosując podstawienie:
p(u)=u' \ \Rightarrow \ u''=p(u)p'(u)
I dalej zwykłe rozdzielenie zmiennych.

2) Jeżeli funkcja podcałkowa jest postaci F(x,y,y') to wystarczy zastosować wzór Eulera-Lagrange'a (w większości przypadków):
F_{y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}F_{y'}=0
Rozwiązaniem tego równania jest zazwyczaj równanie różniczkowe 2 rzędu. Można je rozwiązać metodą przewidywań lub uzmienniania stałej. Więcej na ten temat: http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/am/scb/index90.html

3) Jeżeli funkcja podcałkowa jest postaci F(y,y') tzn. funkcja podcałkowa jest niezależna od x i tym samym F_{x}=0 to stosujemy tzw. tożsamość Beltramiego do równania E-L, co upraszcza sprawę:
F-y'F_{y'}=C
gdzie C jest stałą.

Treść wszystkich przykładów to znaleźć ekstremale funkcjonału przy zadanych warunkach brzegowych:
1) V[y]=\int_{1}^{2}y^{2}y'^{2}
Tutaj brak jest akurat warunków brzegowych tzn. mogą one być dowolne, lecz ustalone. Mechanizm rozwiązywania pozostaje niezmieniony - skorzystamy z równania 3):
F_{y'}=2y^{2}y'\\\
F-y'F_{y'}=C\\\
y^{2}y'^{2}-2y^{2}y'^{2}=C\\\
-y^{2}y'^{2}=C\\\
yy'=D\quad /D=\sqrt{-C}\\\
y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=D\\\
\int y\ \mathrm{d}y=\int D \ \mathrm{d}x\\\
\frac{y^{2}}{2}=Dx+E\\\
y=\sqrt{2(Dx+E)}
Teraz wystarczy podstawić nasze warunki początkowe, by wyznaczyć stałe D i E.

2)
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+2y^{2}+y^{4}}{y'^{2}} \ \mathrm{d}x \quad y(0)=0,\ y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\\\
\\\
F-y'F_{y'}=C\\\
F_{y'}=(1+2y^{2}+y^{4})\left(\frac{1}{y'^{2}}\right)'\\\
F_{y'}=-2\frac{1+2y^{2}+y^{4}}{y'^{3}}\\\
\frac{1+2y^{2}+y^{4}}{y'^{2}}+y'2\frac{1+2y^{2}+y^{4}}{y'^{3}}=C\\\
3\frac{1+2y^{2}+y^{4}}{y'^{2}}=C\\\
3\frac{(1+y^{2})^{2}}{y'^{2}}=C\\\
\frac{(1+y^{2})^{2}}{y'^{2}}=D\quad /D=\frac{C}{3}\\\
(1+y^{2})^{2}=Dy'^{2}\\\
(1+y^{2})^{2}=D\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{2}\\\
(1+y^{2})=E\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\quad /E=\sqrt{D}\\\
\int \frac{\mathrm{d}y}{(1+y^{2})}=\int \frac{\mathrm{d}x}{E}\\\
\int \frac{\mathrm{d}y}{(1+y^{2})}=\int F\ \mathrm{d}x \quad /F=\frac{1}{E}\\\
\arctan{y}=Fx+G\\\
y=\tan(Fx+G)\\\
y(0)=0\Rightarrow\tan{G}=0\Rightarrow G=k\pi\\\
y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\Rightarrow \tan\left(F\frac{\pi}{3}+k\pi\right)=\sqrt{3}\\\
F\frac{\pi}{3}+k\pi=\frac{\pi}{3}+k\pi \Rightarrow F=1\\\
y(x)=\tan(x+k\pi)

3)
V[y]=\int_{0}^{1}\frac{1-y^{2}}{y'}\ \mathrm{d}x\quad y(0)=0,\ y(1)=\frac{e-1}{e+1}\\\
F-y'F_{y'}=C\\\
F_{y'}=(1-y^{2})\left(\frac{1}{y'}\right)'=-\frac{1-y^{2}}{y'^{2}}\\\
\frac{1-y^{2}}{y'}+y'\frac{1-y^{2}}{y'^{2}}=C\\\
2\frac{1-y^{2}}{y'}=C\\\
\frac{1-y^{2}}{y'}=D\quad /D=\frac{C}{2}\\\
1-y^{2}=Dy'\\\
1-y^{2}=D\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\\
\int \frac{\mathrm{d}y}{1-y^{2}}=\int \frac{\mathrm{d}x}{D}\\\
\int \frac{\mathrm{d}y}{1-y^{2}}=\int E\ \mathrm{d}x\quad /E=\frac{1}{D}
Teraz musimy rozbić ułamek po lewej:
\frac{1}{1-y^{2}}=\frac{1}{(1-y)(1+y)}=\frac{A}{1-y}+\frac{B}{1+y}\\\
1=A(1+y)+B(1-y)\\\
\begin{cases}
1=A+B\\\
0=A-B
\end{cases}\\\
B=A=\frac{1}{2}\\\
\frac{1}{2}\int \frac{1}{1-y}+\frac{1}{1+y}\ \mathrm{d}y\\\
\frac{1}{2}\int \frac{1}{1-y}\ \mathrm{d}y+\frac{1}{2}\ln(1+y)
Wykonujemy podstawienie -y=t\Rightarrow \mathrm{d}y=-\mathrm{d}t
-\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t}\ \mathrm{d}t=-\frac{1}{2}\ln(1+t)=-\frac{1}{2}\ln(1-y)\\\
\frac{1}{2}\left[-\ln(1-y)+\ln(1+y)\right]=Ex+F\\\
\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right)=\ln\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=Ex+F\\\
\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=e^{Ex+F}\\\
\frac{1+y}{1-y}=e^{2(Ex+F)}\\\
1+y=(1-y)e^{2(Ex+F)}\\\
y=\frac{e^{2(Ex+F)}-1}{e^{2(Ex+F)}+1}\\\
y(1)=\frac{e-1}{e+1}\Rightarrow\frac{e^{2(E+F)}-1}{e^{2(E+F)}+1}=\frac{e-1}{e+1}\\\
2D+2E=1\Rightarrow D=\frac{1}{2}-E\\\
y(0)=0\Rightarrow \frac{e^{2E}-1}{e^{2E}+1}=0\Rightarrow 2E=0\Rightarrow E=0\\\
\begin{cases}
E=0\\\
D=\frac{1}{2}
\end{cases}\\\
y(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}

Część 2 w przygotowaniu.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 wrz 2015, o 08:45 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Temat trafia do poczekalni na czas uzupełnienia części drugiej. Proszę zawrzeć wszystko w jednym miejscu, tj nie tworzyć drugiej części, a kontynuować pierwszą.

Prawdopodobnym miejscem tego tematu będzie jednak dział "Rozwiązania zadań", powyższe miejsce należy traktować jako tymczasowe i dające dostęp do pisania dalszych postów/edycji już istniejącego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczyć ostatnie cyfry liczby  czarna87  2
 Wyznaczyć pierwszą i drugą pochodną w punkcie o odciętej  gaspario  0
 Wyznaczyć długość promienia.  Krzychuwasik  1
 Wyznaczyć wzór ciągu - zadanie 2  mint18  4
 Wyznaczyć dziedzinę. - zadanie 2  czlowiek_pajak  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl