szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sie 2015, o 14:47 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: as
Witam, mam problem z zadaniem:
Powietrze użyte jest jako czynnik termodynamiczny w podnośniku pneumatycznym. W chwili początkowej powietrze o temperaturze 27^\circ C zawarte jest w zbiorniku o objętości 0.3 m^3 i jego ciśnienie wynosi 0.7 MPa. Po otwarciu zaworu powietrze przepływa do przestrzeni pod tłokiem. Początkowo (przed otwarciem zaworu) cylinder z tłokiem wypełniony jest powietrzem o ciśnieniu 0.1 MPa, temperaturze 15^\circ C i objętości 0.1 m^3. Gdy ciśnienie w cylindrze osiągnie 0.35 MPa tłok rozpoczyna ruch, utrzymując to ciśnienie do momentu osiągnięcia górnej pozycji. Następnie tłok zatrzymuje się, ale powietrze w dalszym ciągu wpływa do cylindra do chwili wyrównania się ciśnień pomiędzy zbiornikiem a cylindrem. W chwili końcowej całe powietrze w wyniku wymiany ciepła z otoczeniem ma temperaturę 15^\circ C. Obliczyć końcowe ciśnienie oraz ilość energii, jaka w formie ciepła zostanie wymieniona z otoczeniem poprzez ścianki układu.

Rozwiązywanie rozpocząłem od wyróżnienia 4 stanów:
1.Początkowy
2.Kiedy ciśnienie pod tłokiem jest równe 0.35 MPa, ale tłok się jeszcze nie poruszył.
3.Kiedy ciśnienie pod tłokiem jest równe 0.35 MPa, a tłok jest w górnej pozycji.
4.Końcowy.

Mam problem z ułożeniem równań stanu z powodu nieznanej mi zmiany temperatury. Wg moich rozważań mam za każdym razem więcej niewiadomych nich działań.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sie 2015, o 23:26 
Użytkownik

Posty: 371
Lokalizacja: Warszawa
lolnaz1

Niejasnym dla mnie jest, od którego momentu przyjąć należy przemianę izotermiczną. Przyjmę następujący model przemian, żeby uściślić, jak rozumiem treść zadania:
1. W fazie początkowej mamy do czynienia z:
a/. wyrównywaniem się temperatur powietrza w cylindrze gdyż napływające ze zbiornika powietrze jest cieplejsze niż powietrze w cylindrze
b/. wzrostem ciśnienia w cylindrze od wartości 0,1 MPa do wartości 0,35 MPa – proces wyrównywania się ciśnień
c/. w tej fazie początkowej założyłbym przemianę adiabatyczną w zbiorniku oraz przemianę adiabatyczną w cylindrze.

Określmy początkową ilość moli powietrza w zbiorniku i cylindrze:
n_z = p_z \cdot V_z /( T_z \cdot R ) i po podstawieniu danych:
n_z = 84,2 mol ( powietrza w zbiorniku )

n_c = p_c \cdot V_c /( T_c \cdot R ) i po podstawieniu danych:
n_c = 4,18 mol (powietrza w cylindrze )
Wiemy teraz, że pewna ilość powietrza ze zbiornika przepłynęła do cylindra w taki sposób, że ciśnienie w cylindrze osiągnęło wartość p_1 = 0,35 MPa, a temperatury obu gazów wyrównały się.
Zakładamy, że do cylindra wpłynęło n_x moli powietrza. Piszemy bilans ciepła oraz przyjmujemy ciepło molowe gazu dwuatomowego, przy stałej objętości ( C_v = 20,8 J/molK ):
Q = n_x \cdot C_v/( T_{pz}  -  T_x ) ( od strony powietrza ze zbiornika )
Q = n_c \cdot C_v/( T_x  -  T_c ) ( od strony powietrza w cylindrze )
Oba równania przyrównujemy i dostajemy jedno równanie ( 1 ) z dwiema niewiadomymin_x oraz T_x
Piszemy zatem równanie stanu dla mieszaniny w cylindrze:
( 2 ) p_m \cdot V_c / T_x = (n_c + n_x ) \cdot R
Mamy teraz dwa równania z dwiema niewiadomymi, więc możemy wyliczyć:
n_x = 10,2 mol
T_x = 296,5 K ( 23,5 C )

jako stan powietrza w cylindrze

Wróćmy teraz do powietrza w zbiorniku:
Na początku było go 84,2 moli a teraz jest o 10,2 mola mniej czyli jest gon_1 = 74 mole. Stan gazu w zbiorniku zmienił się z powodu adiabatycznego rozprężania się gazu w zbiorniku ( nie było wymiany ciepła z otoczeniem );
( stan przed ):p_1 \cdot V_1 /( R \cdot  T_{zp} ) = n_{zp} ( czyli: 700000 \cdot 0,3 / 8,314 \cdot 300 = 84,2 [mol ]
( stan po ): p_2 \cdot V_1 / (R \cdot  T_{zk} ) = n_{zk}
Z tego otrzymamy zależność:
( 3 ) P_2 /T_2 = 282,7
Drugie z powyższych równań zawiera dwie niewiadome: p_2 oraz T_{zk}. Jednocześnie związek ( w przemianie adiabatycznej ) pomiędzy ciśnieniem a temperaturą jest następujący:
( 4 ) T_2/T_1 = (p_2/p_1)^{0,2857} gdzie 0,2857 = ( \kappa -1 ) / \kappa
Rozwiązując te dwie zależności ( określone w 3 i 4 ) otrzymamy:
T_2 = 285 K
p_2 = 0,584 MPa
Jako wielkości do dalszych obliczeń.

Dygresja: otrzymałem T_2 w dość zaskakującej wielkości ( sprawdź wyliczenia ). Mieści się ten wynik w zakresie warunków zadania, ale oznacza, że temperatura powietrza w zbiorniku ( po pierwszym etapie ) wyszła poniżej 15 oC co oznaczałoby dalsze jego nagrzewania się, a nie chłodzenie – przyjmując, że końcowa temperatura procesu wynosić ma 15 oC. Z punktu widzenia termodynamiki – nic tu dziwnego. Z punktu widzenia „zwykłego” zadania – jest to „podpucha”.

2. W drugiej części zadania, kiedy tłok podnosi się przy stałym ciśnieniu równym 0,35 MPa, przemiana w zbiorniku będzie adiabatyczna, a w tłoku izobaryczna. Bilanse ciepła i równania będą analogiczne jak w pkt. 1, ale molowe ciepło właściwe powietrza przyjąć należy jako C_p = 29,1 J/molK ( C_p  -  C_v = R )
3. W trzeciej części zadania przyjąć należy proces powolnego wyrównywania się temperatur tak w zbiorniku jak i w tłoku. Czyli bilans ciepła dla określonej ilości moli gazu w zbiorniku będącego w określonej temperaturze, oraz bilans ciepła dla określonej ilości moli powietrza w tłoku będącego w określonej temperaturze ( na pewno innej niż w zbiorniku ).

W pkt. 1 szczegółowo wyjaśniłem Ci, jak obliczyć tę niewiadomą końcową temperaturę procesu. W pkt.2 i 3 będzie zupełnie analogicznie. Spróbuj to zrobić dalej, a jak nie dasz rady to napisz – będziemy to „rzeźbić” dalej. Obliczenie ciśnienia końcowego opisanego procesu jest tak trywialne ( znana jest końcowa temperatura ), że – mam nadzieję – poświęcisz temu nie więcej niż jedną-dwie linijki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sie 2015, o 15:41 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: as
Czy mógłbyś mi wytłumaczyć coś z fazy początkowej :
1a.Nie rozumiem do końca, czym jest "bilans ciepła". Wygląda to na IZT, z małą literówką we wzorze, powinno chyba być Q=C_{v}n \Delta T.
1b.Rozumiem, że to Q nie jest żadnym ciepłem wymienionym z otoczeniem, tylko ogólną energią która przepłynęła z jednego zbiornika do drugiego, a zbieżność literek jest przypadkowa.
2.Dlaczego zakładasz przemiany adiabatyczne, a nie izochoryczne. Czy tylko po to, aby móc do siebie przyrównać Q czy są jakieś inne przesłanki?
3.Czy można używać wzoru na przemianę adiabatycznej dla zmiennej liczby moli?
4.Skąd się wzięła zależność (4)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sie 2015, o 16:24 
Użytkownik

Posty: 371
Lokalizacja: Warszawa
lonaz1
co do 1a: bilans ciepła odnosi się do faktu, że początkowa ilość moli w cylindrze wynosiła n_c a wprowadzone zostały dodatkowe mole gazu ze zbiornika w ilości n_x ( której nie znamy ).
Nie widzę różnicy pomiędzy Q = n_c \cdot C_v \cdot \Delta T a zapisem Q = C_v \cdot n_c \cdot \Delta T

co do 1b: Tak, Q oznacza przepływ ciepła od powietrza które dopłynęło do cylindra, do powietrza będącego już w cylindrze. Nie ma tu mowy o wymianie ciepła z otoczeniem.

co do 2, które wiąże się z Twoim pytaniem 4:
zależność pomiędzy ciśnieniem a temperaturą w przemianie izochorycznej jest:

T_2/T_1 = p_2/p_1

a w adiabatycznej tak jak napisałem ( jest to podstawowa zależność temperatury i ciśnienia dla adiabaty ).
Zależność dla adiabaty daje bardziej skomplikowaną wyliczanką, a nie chciałem iść na łatwiznę. Tak czy inaczej, proces napełniania się cylindra oraz opróżniania się zbiornika widzę jako adiabatyczny - gdyż w technice procesy te przebiegają względnie szybko, ale nie upieram się. Przelicz to jako izochoryczny.

co do 3:

Można. Generalnie termodynamika rozważa stany stacjonarne i niestacjonarne.
W naszym zadaniu, co tyczy się zbiornika, mamy odpływ pewnej ilości moli powietrza co samo już skutkuje zmianą stanu gazu "przed" i "po". Oczywiście tu także możemy iść na "lekkość w wyliczance" i traktować też tę przemianę jako izochoryczną - do czego jednak nie mam przekonania.

Wyliczyć można wszystko: obojętnie czy założymy przemianę adiabatyczną czy izochoryczną, to kwestia jak autor wyobrażał sobie rozwiązanie treści.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podnośnik nożycowy - siły i reakcje  MalyMat  2
 Podnośnik hydrauliczny - zadanie 2  DarKone  0
 Podnośnik śrubowy - sprzeczne informację  bogdyn919  1
 Podnośnik samochodowy- wyznaczenie siły  Pablo201_5  4
 Podnosnik dwukolumnowy - stan naprężeń  lukasz11218  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl